MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnid Structured version   Unicode version

Theorem lspsnid 17507
Description: A vector belongs to the span of its singleton. (spansnid 26346 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnid.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnid.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsnid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )

Proof of Theorem lspsnid
StepHypRef Expression
1 snssi 4155 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  { X }  C_  V )
2 lspsnid.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspsnid.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
42, 3lspssid 17499 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  { X }  C_  ( N `  { X } ) )
51, 4sylan2 474 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  { X }  C_  ( N `  { X } ) )
6 snssg 4144 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  <->  { X }  C_  ( N `  { X } ) ) )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  <->  { X }  C_  ( N `  { X } ) ) )
85, 7mpbird 232 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    C_ wss 3458   {csn 4010   ` cfv 5574   Basecbs 14504   LModclmod 17380   LSpanclspn 17485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-lsp 17486
This theorem is referenced by:  lspsnel6  17508  lssats2  17514  lspsneli  17515  lspsn  17516  lspsneq0  17526  lsmelval2  17599  lspprabs  17609  lspabs3  17635  lspsnel4  17638  lspdisjb  17640  lspfixed  17642  lshpnelb  34411  lsateln0  34422  lssats  34439  dia1dimid  36492  dochnel  36822  dihjat1lem  36857  dochsnkr2cl  36903  lcfrvalsnN  36970  lcfrlem15  36986  mapdpglem2  37102  mapdpglem9  37109  mapdpglem12  37112  mapdpglem14  37114  mapdindp0  37148  mapdindp3  37151  hdmap11lem2  37274  hdmaprnlem3N  37282  hdmaprnlem7N  37287  hdmaprnlem8N  37288  hdmaprnlem3eN  37290  hdmaplkr  37345
  Copyright terms: Public domain W3C validator