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Theorem lspsneq 17180
Description: Equal spans of singletons must have proportional vectors. See lspsnss2 17063 for comparable span version. TODO: can proof be shortened? (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsneq.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
lspsneq.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
lspsneq.o  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
lspsneq.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsneq.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsneq.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsneq.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsneq.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsneq  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  <->  E. k  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( k  .x.  Y
) ) )
Distinct variable groups:    k, K    .0. , k    .x. , k    k, X    k, Y
Allowed substitution hints:    ph( k)    S( k)    N( k)    V( k)    W( k)

Proof of Theorem lspsneq
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneq.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17164 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspsneq.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (Scalar `  W )
54lmodrng 16934 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
6 lspsneq.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  S
)
7 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
86, 7rngidcl 16653 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  K )
93, 5, 83syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  K )
104lvecdrng 17163 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  S  e.  DivRing )
11 lspsneq.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
1211, 7drngunz 16825 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  DivRing  ->  ( 1r `  S )  =/=  .0.  )
131, 10, 123syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  =/=  .0.  )
14 eldifsn 3995 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  S )  e.  ( K  \  {  .0.  } )  <->  ( ( 1r `  S )  e.  K  /\  ( 1r
`  S )  =/= 
.0.  ) )
159, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  ( K 
\  {  .0.  }
) )
1615ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  -> 
( 1r `  S
)  e.  ( K 
\  {  .0.  }
) )
17 lspsneq.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
18 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1917, 18lmod0vcl 16955 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  W )  e.  V )
201, 2, 193syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  e.  V )
21 lspsneq.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2217, 4, 21, 7lmodvs1 16954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 0g `  W )  e.  V )  ->  (
( 1r `  S
)  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
233, 20, 22syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  S )  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W ) )
2423ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  -> 
( ( 1r `  S )  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W ) )
25 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( 1r `  S
)  .x.  Y )  =  ( ( 1r
`  S )  .x.  ( 0g `  W ) ) )
2625adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  -> 
( ( 1r `  S )  .x.  Y
)  =  ( ( 1r `  S ) 
.x.  ( 0g `  W ) ) )
27 lspsneq.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
283adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LMod )
29 lspsneq.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  V
)
31 lspsneq.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
33 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3417, 18, 27, 28, 30, 32, 33lspsneq0b 17071 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( X  =  ( 0g `  W
)  <->  Y  =  ( 0g `  W ) ) )
3534biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  ->  X  =  ( 0g `  W ) )
3624, 26, 353eqtr4rd 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  ->  X  =  ( ( 1r `  S )  .x.  Y ) )
37 oveq1 6093 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( 1r `  S )  ->  (
j  .x.  Y )  =  ( ( 1r
`  S )  .x.  Y ) )
3837eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( 1r `  S )  ->  ( X  =  ( j  .x.  Y )  <->  X  =  ( ( 1r `  S )  .x.  Y
) ) )
3938rspcev 3068 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1r `  S
)  e.  ( K 
\  {  .0.  }
)  /\  X  =  ( ( 1r `  S )  .x.  Y
) )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y
) )
4016, 36, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =  ( 0g `  W ) )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  }
) X  =  ( j  .x.  Y ) )
41 eqimss 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) )
43 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
4417, 43, 27lspsncl 17035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
453, 31, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( N `  { Y } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
4717, 43, 27, 28, 46, 30lspsnel5 17053 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
4842, 47mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y } ) )
494, 6, 17, 21, 27lspsnel 17061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y ) ) )
5028, 32, 49syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y
) ) )
5148, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y ) )
5251adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y ) )
53 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  j  e.  K )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  K  /\  X  =  ( j  .x.  Y ) )  ->  X  =  ( j  .x.  Y ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  X  =  ( j  .x.  Y ) )
5634biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( X  =  ( 0g `  W
)  ->  Y  =  ( 0g `  W ) ) )
5756necon3d 2641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  ( Y  =/=  ( 0g `  W
)  ->  X  =/=  ( 0g `  W ) ) )
5857imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  W ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  X  =/=  ( 0g `  W
) )
6055, 59eqnetrrd 2623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  (
j  .x.  Y )  =/=  ( 0g `  W
) )
611adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  W  e.  LVec )
6332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  Y  e.  V )
6417, 21, 4, 6, 11, 18, 62, 53, 63lvecvsn0 17167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  (
( j  .x.  Y
)  =/=  ( 0g
`  W )  <->  ( j  =/=  .0.  /\  Y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
6560, 64mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  (
j  =/=  .0.  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) ) )
6665simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  j  =/=  .0.  )
67 eldifsn 3995 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  <->  ( j  e.  K  /\  j  =/=  .0.  ) )
6853, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )
6968, 55jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  /\  ( j  e.  K  /\  X  =  (
j  .x.  Y )
) )  ->  (
j  e.  ( K 
\  {  .0.  }
)  /\  X  =  ( j  .x.  Y
) ) )
7069ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  -> 
( ( j  e.  K  /\  X  =  ( j  .x.  Y
) )  ->  (
j  e.  ( K 
\  {  .0.  }
)  /\  X  =  ( j  .x.  Y
) ) ) )
7170reximdv2 2820 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  -> 
( E. j  e.  K  X  =  ( j  .x.  Y )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y ) ) )
7252, 71mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  }
) X  =  ( j  .x.  Y ) )
7340, 72pm2.61dane 2684 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y ) )
7473ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y
) ) )
751adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  W  e.  LVec )
76 eldifi 3473 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -> 
j  e.  K )
7776adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  j  e.  K )
78 eldifsni 3996 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -> 
j  =/=  .0.  )
7978adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  j  =/=  .0.  )
8031adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  Y  e.  V )
8117, 4, 21, 6, 11, 27lspsnvs 17172 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
j  e.  K  /\  j  =/=  .0.  )  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  {
( j  .x.  Y
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
8275, 77, 79, 80, 81syl121anc 1223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { (
j  .x.  Y ) } )  =  ( N `  { Y } ) )
8382ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  ->  ( N `  { ( j  .x.  Y ) } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
84 sneq 3882 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  { X }  =  { (
j  .x.  Y ) } )
8584fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( j  .x.  Y ) } ) )
8685eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  (
( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { ( j  .x.  Y ) } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
8786biimprcd 225 . . . . 5  |-  ( ( N `  { ( j  .x.  Y ) } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
8883, 87syl6 33 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( K  \  {  .0.  } )  ->  ( X  =  ( j  .x.  Y )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) ) )
8988rexlimdv 2835 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y
)  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
9074, 89impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  <->  E. j  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( j  .x.  Y
) ) )
91 oveq1 6093 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
j  .x.  Y )  =  ( k  .x.  Y ) )
9291eqeq2d 2449 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( X  =  ( j  .x.  Y )  <->  X  =  ( k  .x.  Y
) ) )
9392cbvrexv 2943 . 2  |-  ( E. j  e.  ( K 
\  {  .0.  }
) X  =  ( j  .x.  Y )  <->  E. k  e.  ( K  \  {  .0.  }
) X  =  ( k  .x.  Y ) )
9490, 93syl6bb 261 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  <->  E. k  e.  ( K  \  {  .0.  } ) X  =  ( k  .x.  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711    \ cdif 3320    C_ wss 3323   {csn 3872   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   0gc0g 14370   1rcur 16591   Ringcrg 16633   DivRingcdr 16810   LModclmod 16926   LSubSpclss 16990   LSpanclspn 17029   LVecclvec 17160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-drng 16812  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-lvec 17161
This theorem is referenced by:  lspsneu  17181  mapdpglem26  35183  mapdpglem27  35184  hdmap14lem2a  35355  hdmap14lem2N  35357
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