MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5a Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel5a 17418
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5a.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel5a.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel5a.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnel5a.a  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel5a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
Assertion
Ref Expression
lspsnel5a  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)

Proof of Theorem lspsnel5a
StepHypRef Expression
1 lspsnel5a.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
2 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lspsnel5a.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspsnel5a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
5 lspsnel5a.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lspsnel5a.a . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
72, 3lssel 17360 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
86, 1, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
92, 3, 4, 5, 6, 8lspsnel5 17417 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
101, 9mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469   {csn 4020   ` cfv 5579   Basecbs 14479   LModclmod 17288   LSubSpclss 17354   LSpanclspn 17393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394
This theorem is referenced by:  lssats2  17422  lspsn  17424  lspsnvsi  17426  lsmelval2  17507  lspprabs  17517  lspvadd  17518  lspabs3  17543  lsmcv  17563  lspsnat  17567  lsppratlem6  17574  issubassa2  17758  lshpnel  33655  lsatel  33677  lsmsat  33680  lssatomic  33683  lssats  33684  lsat0cv  33705  dia2dimlem10  35745  dochsatshpb  36124  lclkrlem2f  36184  lcfrlem25  36239  lcfrlem35  36249  mapdval2N  36302  mapdrvallem2  36317  mapdpglem8  36351  mapdpglem13  36356  mapdindp0  36391  mapdh6aN  36407  mapdh8e  36456  mapdh9a  36462  hdmap1l6a  36482  hdmapval0  36508  hdmapval3lemN  36512  hdmap10lem  36514  hdmap11lem1  36516  hdmap11lem2  36517  hdmaprnlem4N  36528  hdmaprnlem3eN  36533
  Copyright terms: Public domain W3C validator