MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5a Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel5a 17960
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5a.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel5a.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel5a.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnel5a.a  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel5a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
Assertion
Ref Expression
lspsnel5a  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)

Proof of Theorem lspsnel5a
StepHypRef Expression
1 lspsnel5a.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lspsnel5a.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspsnel5a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
5 lspsnel5a.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lspsnel5a.a . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
72, 3lssel 17902 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
86, 1, 7syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
92, 3, 4, 5, 6, 8lspsnel5 17959 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
101, 9mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   {csn 3971   ` cfv 5568   Basecbs 14839   LModclmod 17830   LSubSpclss 17896   LSpanclspn 17935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936
This theorem is referenced by:  lssats2  17964  lspsn  17966  lspsnvsi  17968  lsmelval2  18049  lspprabs  18059  lspvadd  18060  lspabs3  18085  lsmcv  18105  lspsnat  18109  lsppratlem6  18116  issubassa2  18312  lshpnel  31981  lsatel  32003  lsmsat  32006  lssatomic  32009  lssats  32010  lsat0cv  32031  dia2dimlem10  34073  dochsatshpb  34452  lclkrlem2f  34512  lcfrlem25  34567  lcfrlem35  34577  mapdval2N  34630  mapdrvallem2  34645  mapdpglem8  34679  mapdpglem13  34684  mapdindp0  34719  mapdh6aN  34735  mapdh8e  34784  mapdh9a  34790  hdmap1l6a  34810  hdmapval0  34836  hdmapval3lemN  34840  hdmap10lem  34842  hdmap11lem1  34844  hdmap11lem2  34845  hdmaprnlem4N  34856  hdmaprnlem3eN  34861
  Copyright terms: Public domain W3C validator