MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5a Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lspsnel5a 18219
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5a.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel5a.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel5a.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnel5a.a  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel5a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
Assertion
Ref Expression
lspsnel5a  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)

Proof of Theorem lspsnel5a
StepHypRef Expression
1 lspsnel5a.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lspsnel5a.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspsnel5a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
5 lspsnel5a.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lspsnel5a.a . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
72, 3lssel 18161 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
86, 1, 7syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
92, 3, 4, 5, 6, 8lspsnel5 18218 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
101, 9mpbid 214 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1444    e. wcel 1887    C_ wss 3404   {csn 3968   ` cfv 5582   Basecbs 15121   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   LSpanclspn 18194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195
This theorem is referenced by:  lssats2  18223  lspsn  18225  lspsnvsi  18227  lsmelval2  18308  lspprabs  18318  lspvadd  18319  lspabs3  18344  lsmcv  18364  lspsnat  18368  lsppratlem6  18375  issubassa2  18569  lshpnel  32549  lsatel  32571  lsmsat  32574  lssatomic  32577  lssats  32578  lsat0cv  32599  dia2dimlem10  34641  dochsatshpb  35020  lclkrlem2f  35080  lcfrlem25  35135  lcfrlem35  35145  mapdval2N  35198  mapdrvallem2  35213  mapdpglem8  35247  mapdpglem13  35252  mapdindp0  35287  mapdh6aN  35303  mapdh8e  35352  mapdh9a  35358  hdmap1l6a  35378  hdmapval0  35404  hdmapval3lemN  35408  hdmap10lem  35410  hdmap11lem1  35412  hdmap11lem2  35413  hdmaprnlem4N  35424  hdmaprnlem3eN  35429
  Copyright terms: Public domain W3C validator