MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5a Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel5a 17075
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5a.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel5a.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel5a.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnel5a.a  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel5a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
Assertion
Ref Expression
lspsnel5a  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)

Proof of Theorem lspsnel5a
StepHypRef Expression
1 lspsnel5a.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
2 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lspsnel5a.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspsnel5a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
5 lspsnel5a.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lspsnel5a.a . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
72, 3lssel 17017 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
86, 1, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
92, 3, 4, 5, 6, 8lspsnel5 17074 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
101, 9mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3326   {csn 3875   ` cfv 5416   Basecbs 14172   LModclmod 16946   LSubSpclss 17011   LSpanclspn 17050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051
This theorem is referenced by:  lssats2  17079  lspsn  17081  lspsnvsi  17083  lsmelval2  17164  lspprabs  17174  lspvadd  17175  lspabs3  17200  lsmcv  17220  lspsnat  17224  lsppratlem6  17231  issubassa2  17413  lshpnel  32625  lsatel  32647  lsmsat  32650  lssatomic  32653  lssats  32654  lsat0cv  32675  dia2dimlem10  34715  dochsatshpb  35094  lclkrlem2f  35154  lcfrlem25  35209  lcfrlem35  35219  mapdval2N  35272  mapdrvallem2  35287  mapdpglem8  35321  mapdpglem13  35326  mapdindp0  35361  mapdh6aN  35377  mapdh8e  35426  mapdh9a  35432  hdmap1l6a  35452  hdmapval0  35478  hdmapval3lemN  35482  hdmap10lem  35484  hdmap11lem1  35486  hdmap11lem2  35487  hdmaprnlem4N  35498  hdmaprnlem3eN  35503
  Copyright terms: Public domain W3C validator