MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5 Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel5 17182
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnel5.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel5.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel5.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnel5.a  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel5.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsnel5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )

Proof of Theorem lspsnel5
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsnel5.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspsnel5.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspsnel5.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 lspsnel5.a . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
61, 2, 3, 4, 5lspsnel6 17181 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  U
) ) )
7 lspsnel5.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
87biantrurd 508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  U 
<->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  U
) ) )
96, 8bitr4d 256 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3426   {csn 3975   ` cfv 5516   Basecbs 14276   LModclmod 17054   LSubSpclss 17119   LSpanclspn 17158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-lsp 17159
This theorem is referenced by:  lspsnel5a  17183  lspprid1  17184  lspsnss2  17192  lsmelpr  17278  lspsncmp  17303  lspsnne1  17304  lspsnne2  17305  lspsneq  17309  lspindpi  17319  islbs2  17341  lsatelbN  32957  lsmsat  32959  lsatfixedN  32960  l1cvpat  33005  dia2dimlem5  35019  dochsncom  35333  dihjat1lem  35379  dvh4dimlem  35394  lclkrlem2a  35458  lcfrlem6  35498  lcfrlem20  35513  lcfrlem26  35519  lcfrlem36  35529  mapdval2N  35581  mapdrvallem2  35596  mapdindp  35622  mapdh6aN  35686  lspindp5  35721  mapdh8ab  35728  mapdh8e  35735  hdmap1l6a  35761  hdmaprnlem3eN  35812  hdmapoc  35885
  Copyright terms: Public domain W3C validator