MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5 Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel5 17515
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnel5.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel5.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel5.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnel5.a  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel5.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsnel5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )

Proof of Theorem lspsnel5
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsnel5.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspsnel5.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspsnel5.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 lspsnel5.a . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
61, 2, 3, 4, 5lspsnel6 17514 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  U
) ) )
7 lspsnel5.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
87biantrurd 508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  U 
<->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  U
) ) )
96, 8bitr4d 256 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   {csn 4014   ` cfv 5578   Basecbs 14509   LModclmod 17386   LSubSpclss 17452   LSpanclspn 17491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492
This theorem is referenced by:  lspsnel5a  17516  lspprid1  17517  lspsnss2  17525  lsmelpr  17611  lspsncmp  17636  lspsnne1  17637  lspsnne2  17638  lspsneq  17642  lspindpi  17652  islbs2  17674  lsatelbN  34471  lsmsat  34473  lsatfixedN  34474  l1cvpat  34519  dia2dimlem5  36535  dochsncom  36849  dihjat1lem  36895  dvh4dimlem  36910  lclkrlem2a  36974  lcfrlem6  37014  lcfrlem20  37029  lcfrlem26  37035  lcfrlem36  37045  mapdval2N  37097  mapdrvallem2  37112  mapdindp  37138  mapdh6aN  37202  lspindp5  37237  mapdh8ab  37244  mapdh8e  37251  hdmap1l6a  37277  hdmaprnlem3eN  37328  hdmapoc  37401
  Copyright terms: Public domain W3C validator