MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5 Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel5 17417
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnel5.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel5.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel5.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnel5.a  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel5.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsnel5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )

Proof of Theorem lspsnel5
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsnel5.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspsnel5.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspsnel5.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 lspsnel5.a . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
61, 2, 3, 4, 5lspsnel6 17416 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  U
) ) )
7 lspsnel5.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
87biantrurd 508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  U 
<->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  U
) ) )
96, 8bitr4d 256 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469   {csn 4020   ` cfv 5579   Basecbs 14479   LModclmod 17288   LSubSpclss 17354   LSpanclspn 17393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394
This theorem is referenced by:  lspsnel5a  17418  lspprid1  17419  lspsnss2  17427  lsmelpr  17513  lspsncmp  17538  lspsnne1  17539  lspsnne2  17540  lspsneq  17544  lspindpi  17554  islbs2  17576  lsatelbN  33678  lsmsat  33680  lsatfixedN  33681  l1cvpat  33726  dia2dimlem5  35740  dochsncom  36054  dihjat1lem  36100  dvh4dimlem  36115  lclkrlem2a  36179  lcfrlem6  36219  lcfrlem20  36234  lcfrlem26  36240  lcfrlem36  36250  mapdval2N  36302  mapdrvallem2  36317  mapdindp  36343  mapdh6aN  36407  lspindp5  36442  mapdh8ab  36449  mapdh8e  36456  hdmap1l6a  36482  hdmaprnlem3eN  36533  hdmapoc  36606
  Copyright terms: Public domain W3C validator