MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel4 Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel4 17641
Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (elspansn4 26305 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnel4.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsnel4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel4.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel4.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsnel4.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel4.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsnel4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X }
) )
lspsnel4.z  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lspsnel4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  Y  e.  U ) )

Proof of Theorem lspsnel4
StepHypRef Expression
1 lspsnel4.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 lspsnel4.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspsnel4.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 17623 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
7 lspsnel4.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  U  e.  S )
9 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  U )
10 lspsnel4.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X }
) )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  Y  e.  ( N `  { X } ) )
121, 2, 6, 8, 9, 11lspsnel3 17508 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  Y  e.  U )
135adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
147adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  U  e.  S )
15 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  U )
16 lspsnel4.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 lspsnel4.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
1817, 2lspsnid 17510 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
195, 16, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
20 lspsnel4.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
21 lspsnel4.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
2217, 20, 2, 3, 16, 10, 21lspsneleq 17632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { X } ) )
2319, 22eleqtrrd 2558 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y }
) )
2423adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  ( N `  { Y } ) )
251, 2, 13, 14, 15, 24lspsnel3 17508 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  U )
2612, 25impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  Y  e.  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {csn 4033   ` cfv 5594   Basecbs 14507   0gc0g 14712   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449   LSpanclspn 17488   LVecclvec 17619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620
This theorem is referenced by:  lshpdisj  34140
  Copyright terms: Public domain W3C validator