MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel4 Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel4 17204
Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (elspansn4 24975 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnel4.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsnel4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsnel4.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnel4.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsnel4.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspsnel4.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsnel4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X }
) )
lspsnel4.z  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lspsnel4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  Y  e.  U ) )

Proof of Theorem lspsnel4
StepHypRef Expression
1 lspsnel4.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 lspsnel4.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspsnel4.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 17186 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
7 lspsnel4.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  U  e.  S )
9 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  U )
10 lspsnel4.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X }
) )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  Y  e.  ( N `  { X } ) )
121, 2, 6, 8, 9, 11lspsnel3 17071 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  Y  e.  U )
135adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
147adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  U  e.  S )
15 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  U )
16 lspsnel4.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 lspsnel4.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
1817, 2lspsnid 17073 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
195, 16, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
20 lspsnel4.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
21 lspsnel4.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
2217, 20, 2, 3, 16, 10, 21lspsneleq 17195 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { X } ) )
2319, 22eleqtrrd 2519 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y }
) )
2423adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  ( N `  { Y } ) )
251, 2, 13, 14, 15, 24lspsnel3 17071 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  U )
2612, 25impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  Y  e.  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   {csn 3876   ` cfv 5417   Basecbs 14173   0gc0g 14377   LModclmod 16947   LSubSpclss 17012   LSpanclspn 17051   LVecclvec 17182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-oppr 16714  df-dvdsr 16732  df-unit 16733  df-invr 16763  df-drng 16833  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-lsp 17052  df-lvec 17183
This theorem is referenced by:  lshpdisj  32630
  Copyright terms: Public domain W3C validator