MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel Structured version   Unicode version

Theorem lspsnel 17432
Description: Member of span of the singleton of a vector. (elspansn 26160 analog.) (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lspsn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lspsn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lspsn.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsnel  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( U  e.  ( N `  { X } )  <->  E. k  e.  K  U  =  ( k  .x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, K    k, N    U, k    k, V    k, W    .x. , k    k, X

Proof of Theorem lspsnel
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsn.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 lspsn.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
3 lspsn.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lspsn.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 lspsn.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
61, 2, 3, 4, 5lspsn 17431 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  =  {
v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X
) } )
76eleq2d 2537 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( U  e.  ( N `  { X } )  <-> 
U  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) } ) )
8 id 22 . . . . 5  |-  ( U  =  ( k  .x.  X )  ->  U  =  ( k  .x.  X ) )
9 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( k 
.x.  X )  e. 
_V
108, 9syl6eqel 2563 . . . 4  |-  ( U  =  ( k  .x.  X )  ->  U  e.  _V )
1110rexlimivw 2952 . . 3  |-  ( E. k  e.  K  U  =  ( k  .x.  X )  ->  U  e.  _V )
12 eqeq1 2471 . . . 4  |-  ( v  =  U  ->  (
v  =  ( k 
.x.  X )  <->  U  =  ( k  .x.  X
) ) )
1312rexbidv 2973 . . 3  |-  ( v  =  U  ->  ( E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X )  <->  E. k  e.  K  U  =  ( k  .x.  X
) ) )
1411, 13elab3 3257 . 2  |-  ( U  e.  { v  |  E. k  e.  K  v  =  ( k  .x.  X ) }  <->  E. k  e.  K  U  =  ( k  .x.  X
) )
157, 14syl6bb 261 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( U  e.  ( N `  { X } )  <->  E. k  e.  K  U  =  ( k  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   {csn 4027   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   LModclmod 17295   LSpanclspn 17400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401
This theorem is referenced by:  lspsnss2  17434  lsmspsn  17513  lspsneleq  17544  lspsneq  17551  lspdisj  17554  rspsn  17684  lshpdisj  33784  lshpsmreu  33906  lkrlspeqN  33968  lcfl7lem  36296  lcfrvalsnN  36338  mapdpglem3  36472  hdmapglem7a  36727
  Copyright terms: Public domain W3C validator