MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncv0 Structured version   Unicode version

Theorem lspsncv0 17204
Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncv0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsncv0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsncv0.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsncv0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsncv0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsncv0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsncv0.e  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lspsncv0  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  } 
C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
Distinct variable group:    ph, y
Allowed substitution hints:    S( y)    N( y)    V( y)    W( y)    X( y)    .0. ( y)

Proof of Theorem lspsncv0
StepHypRef Expression
1 df-pss 3339 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C.  y  <->  ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y ) )
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y )  ->  {  .0.  }  =/=  y )
3 nesym 2642 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  =/=  y  <->  -.  y  =  {  .0.  } )
42, 3sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y )  ->  -.  y  =  {  .0.  } )
51, 4sylbi 195 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  =  {  .0.  } )
6 lspsncv0.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  ->  W  e.  LVec )
8 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
y  e.  S )
9 lspsncv0.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  V )
11 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
y  C_  ( N `  { X } ) )
12 lspsncv0.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lspsncv0.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
14 lspsncv0.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
15 lspsncv0.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1612, 13, 14, 15lspsnat 17203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  y  e.  S  /\  X  e.  V )  /\  y  C_  ( N `
 { X }
) )  ->  (
y  =  ( N `
 { X }
)  \/  y  =  {  .0.  } ) )
177, 8, 10, 11, 16syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( y  =  ( N `  { X } )  \/  y  =  {  .0.  } ) )
1817orcomd 388 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( y  =  {  .0.  }  \/  y  =  ( N `  { X } ) ) )
1918ord 377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( -.  y  =  {  .0.  }  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2019ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  C_  ( N `  { X } )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) ) )
2120com23 78 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  ( y  C_  ( N `  { X } )  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) ) )
22 npss 3461 . . . . 5  |-  ( -.  y  C.  ( N `  { X } )  <-> 
( y  C_  ( N `  { X } )  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2321, 22syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
245, 23syl5 32 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
2524ralrimiva 2794 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
26 ralinexa 2755 . 2  |-  ( A. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) )  <->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
2725, 26sylib 196 1  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  } 
C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323    C. wpss 3324   {csn 3872   ` cfv 5413   Basecbs 14166   0gc0g 14370   LSubSpclss 16990   LSpanclspn 17029   LVecclvec 17160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-drng 16812  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-lvec 17161
This theorem is referenced by:  lsatcv0  32516
  Copyright terms: Public domain W3C validator