MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncmp Structured version   Unicode version

Theorem lspsncmp 17610
Description: Comparable spans of nonzero singletons are equal. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncmp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsncmp.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsncmp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsncmp.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsncmp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspsncmp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspsncmp  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )

Proof of Theorem lspsncmp
StepHypRef Expression
1 lspsncmp.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsncmp.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspsncmp.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspsncmp.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
6 lspsncmp.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
9 lveclmod 17600 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
104, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
111, 8, 3lspsncl 17471 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
1210, 6, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
13 lspsncmp.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
151, 8, 3, 10, 12, 14lspsnel5 17489 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
1615biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y } ) )
17 eldifsni 4158 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
1813, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  X  =/=  .0.  )
201, 2, 3, 5, 7, 16, 19lspsneleq 17609 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
2120ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
22 eqimss 3561 . 2  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) )
2321, 22impbid1 203 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4032   ` cfv 5593   Basecbs 14502   0gc0g 14707   LModclmod 17360   LSubSpclss 17426   LSpanclspn 17465   LVecclvec 17596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-tpos 6965  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-0g 14709  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-drng 17246  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-lvec 17597
This theorem is referenced by:  lspsnne1  17611  lspabs2  17614  lspabs3  17615  lsatfixedN  34099  mapdindp0  36809  hdmaprnlem4N  36946
  Copyright terms: Public domain W3C validator