MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprvacl Structured version   Unicode version

Theorem lspprvacl 17095
Description: The sum of two vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprvacl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprvacl.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspprvacl.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprvacl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspprvacl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprvacl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspprvacl  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem lspprvacl
StepHypRef Expression
1 lspprvacl.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspprvacl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
4 lspprvacl.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
5 lspprvacl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 lspprvacl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
72, 3, 4, 1, 5, 6lspprcl 17074 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
82, 4, 1, 5, 6lspprid1 17093 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
92, 4, 1, 5, 6lspprid2 17094 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
10 lspprvacl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
1110, 3lssvacl 17050 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( X  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
121, 7, 8, 9, 11syl22anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cpr 3894   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   +g cplusg 14253   LModclmod 16963   LSubSpclss 17028   LSpanclspn 17067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-plusg 14266  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-lsp 17068
This theorem is referenced by:  mapdh6aN  35399  hdmap1l6a  35474  hdmap11lem1  35508
  Copyright terms: Public domain W3C validator