MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprid2 Structured version   Unicode version

Theorem lspprid2 17212
Description: A member of a pair of vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprid.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprid.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprid.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspprid.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprid.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspprid2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem lspprid2
StepHypRef Expression
1 lspprid.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspprid.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspprid.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprid.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
5 lspprid.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
61, 2, 3, 4, 5lspprid1 17211 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )
7 prcom 4064 . . 3  |-  { Y ,  X }  =  { X ,  Y }
87fveq2i 5805 . 2  |-  ( N `
 { Y ,  X } )  =  ( N `  { X ,  Y } )
96, 8syl6eleq 2552 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cpr 3990   ` cfv 5529   Basecbs 14296   LModclmod 17081   LSpanclspn 17185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186
This theorem is referenced by:  lspprvacl  17213  dvh3dim2  35456  dvh3dim3N  35457  mapdh9a  35798  hdmapval0  35844  hdmapval3lemN  35848  hdmap10lem  35850  hdmap11lem2  35853
  Copyright terms: Public domain W3C validator