MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprid1 Structured version   Unicode version

Theorem lspprid1 17514
Description: A member of a pair of vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprid.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprid.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprid.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspprid.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprid.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspprid1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem lspprid1
StepHypRef Expression
1 lspprid.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspprid.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lspprid.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 prssi 4189 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
52, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
6 snsspr1 4182 . . . 4  |-  { X }  C_  { X ,  Y }
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { X }  C_  { X ,  Y }
)
8 lspprid.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 lspprid.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
108, 9lspss 17501 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V  /\  { X }  C_  { X ,  Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
111, 5, 7, 10syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
12 eqid 2467 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
138, 12, 9, 1, 2, 3lspprcl 17495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
148, 12, 9, 1, 13, 2lspsnel5 17512 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
1511, 14mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   ` cfv 5594   Basecbs 14507   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449   LSpanclspn 17488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489
This theorem is referenced by:  lspprid2  17515  lspprvacl  17516  dvh3dim2  36646  mapdh9a  36988  hdmapval0  37034  hdmapval3lemN  37038  hdmap10lem  37040  hdmap11lem2  37043
  Copyright terms: Public domain W3C validator