MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppreli Structured version   Unicode version

Theorem lsppreli 17183
Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppreli.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsppreli.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lsppreli.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lsppreli.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lsppreli.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lsppreli.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsppreli.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsppreli.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lsppreli.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lsppreli.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsppreli.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsppreli  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )

Proof of Theorem lsppreli
StepHypRef Expression
1 lsppreli.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsppreli.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lsppreli.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lsppreli.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
53, 4lspsnsubg 17073 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
7 lsppreli.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
83, 4lspsnsubg 17073 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
91, 7, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
10 lsppreli.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
11 lsppreli.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
12 lsppreli.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
13 lsppreli.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
143, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2lspsneli 17094 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
15 lsppreli.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
163, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7lspsneli 17094 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
17 lsppreli.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
18 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1917, 18lsmelvali 16161 . . 3  |-  ( ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( ( A  .x.  X )  e.  ( N `  { X } )  /\  ( B  .x.  Y )  e.  ( N `  { Y } ) ) )  ->  ( ( A 
.x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
206, 9, 14, 16, 19syl22anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Y } ) ) )
213, 4, 18, 1, 2, 7lsmpr 17182 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
2220, 21eleqtrrd 2520 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3889   {cpr 3891   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   +g cplusg 14250  Scalarcsca 14253   .scvsca 14254  SubGrpcsubg 15687   LSSumclsm 16145   LModclmod 16960   LSpanclspn 17064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-lsm 16147  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lsp 17065
This theorem is referenced by:  lspexch  17222  baerlem3lem1  35364  baerlem5alem1  35365  baerlem5blem1  35366
  Copyright terms: Public domain W3C validator