MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppreli Structured version   Unicode version

Theorem lsppreli 17607
Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppreli.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsppreli.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lsppreli.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lsppreli.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lsppreli.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lsppreli.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsppreli.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsppreli.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lsppreli.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lsppreli.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsppreli.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsppreli  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )

Proof of Theorem lsppreli
StepHypRef Expression
1 lsppreli.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsppreli.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lsppreli.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lsppreli.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
53, 4lspsnsubg 17497 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
7 lsppreli.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
83, 4lspsnsubg 17497 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
91, 7, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
10 lsppreli.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
11 lsppreli.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
12 lsppreli.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
13 lsppreli.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
143, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2lspsneli 17518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
15 lsppreli.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
163, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7lspsneli 17518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
17 lsppreli.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1917, 18lsmelvali 16543 . . 3  |-  ( ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( ( A  .x.  X )  e.  ( N `  { X } )  /\  ( B  .x.  Y )  e.  ( N `  { Y } ) ) )  ->  ( ( A 
.x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
206, 9, 14, 16, 19syl22anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Y } ) ) )
213, 4, 18, 1, 2, 7lsmpr 17606 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
2220, 21eleqtrrd 2558 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4033   {cpr 4035   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576  SubGrpcsubg 16067   LSSumclsm 16527   LModclmod 17383   LSpanclspn 17488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489
This theorem is referenced by:  lspexch  17646  baerlem3lem1  36905  baerlem5alem1  36906  baerlem5blem1  36907
  Copyright terms: Public domain W3C validator