MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprcl Structured version   Unicode version

Theorem lspprcl 17167
Description: The span of a pair is a subspace (frequently used special case of lspcl 17165). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspprcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspprcl  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  S )

Proof of Theorem lspprcl
StepHypRef Expression
1 lspprcl.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lspprcl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lspprcl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 prssi 4129 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
52, 3, 4syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
6 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
8 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
96, 7, 8lspcl 17165 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  S )
101, 5, 9syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3428   {cpr 3979   ` cfv 5518   Basecbs 14278   LModclmod 17056   LSubSpclss 17121   LSpanclspn 17160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-plusg 14355  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161
This theorem is referenced by:  lspprid1  17186  lspprvacl  17188  lsmelpr  17280  lspexch  17318  lspindpi  17321  lsppratlem4  17339  lsatfixedN  32962  dvh3dim2  35401  dvh3dim3N  35402  lclkrlem2v  35481  lcfrlem23  35518  lcfrlem25  35520  mapdindp  35624  baerlem3lem1  35660  baerlem5alem1  35661  baerlem5blem1  35662  baerlem5amN  35669  baerlem5bmN  35670  baerlem5abmN  35671  mapdh6aN  35688  mapdh6b0N  35689  mapdh6iN  35697  lspindp5  35723  mapdh8ab  35730  mapdh8ad  35732  mapdh8e  35737  mapdh9a  35743  mapdh9aOLDN  35744  hdmap1l6a  35763  hdmap1l6b0N  35764  hdmap1l6i  35772  hdmap1eulemOLDN  35778  hdmapval0  35789  hdmapval3lemN  35793  hdmap10lem  35795  hdmap11lem1  35797  hdmap11lem2  35798  hdmap14lem11  35834
  Copyright terms: Public domain W3C validator