MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem6 Structured version   Unicode version

Theorem lsppratlem6 17351
Description: Lemma for lspprat 17352. Negating the assumption on  y, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
lsppratlem6.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  U  =  ( N `  { x } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem6
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspprat.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
21adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
3 lspprat.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lspprat.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5 lspprat.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 lspprat.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
8 lspprat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
98adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  U  e.  S )
10 lspprat.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  X  e.  V )
12 lspprat.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1312adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  Y  e.  V )
141adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
15 lsppratlem6.o . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
16 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
17 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) )
183, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17lsppratlem5 17350 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  C_  U
)
19 ssnpss 3562 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { X ,  Y } )  C_  U  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
2120expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  (
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) )  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
222, 21mt2d 117 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  -.  y  e.  ( U  \  ( N `  {
x } ) ) )
2322eq0rdv 3775 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  =  (/) )
24 ssdif0 3840 . . . 4  |-  ( U 
C_  ( N `  { x } )  <-> 
( U  \  ( N `  { x } ) )  =  (/) )
2523, 24sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  C_  ( N `  {
x } ) )
26 lveclmod 17305 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
276, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2827adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  W  e.  LMod )
298adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  e.  S )
30 eldifi 3581 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  x  e.  U )
3130adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  U )
324, 5, 28, 29, 31lspsnel5a 17195 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { x } )  C_  U
)
3325, 32eqssd 3476 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  =  ( N `  { x } ) )
3433ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  U  =  ( N `  { x } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3428    C_ wss 3431    C. wpss 3432   (/)c0 3740   {csn 3980   {cpr 3982   ` cfv 5521   Basecbs 14287   0gc0g 14492   LModclmod 17066   LSubSpclss 17131   LSpanclspn 17170   LVecclvec 17301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-drng 16952  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-lvec 17302
This theorem is referenced by:  lspprat  17352
  Copyright terms: Public domain W3C validator