MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem6 Structured version   Unicode version

Theorem lsppratlem6 17925
Description: Lemma for lspprat 17926. Negating the assumption on  y, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
lsppratlem6.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  U  =  ( N `  { x } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem6
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspprat.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
21adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
3 lspprat.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lspprat.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5 lspprat.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 lspprat.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
8 lspprat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
98adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  U  e.  S )
10 lspprat.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  X  e.  V )
12 lspprat.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1312adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  Y  e.  V )
141adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
15 lsppratlem6.o . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
16 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
17 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) )
183, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17lsppratlem5 17924 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  C_  U
)
19 ssnpss 3603 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { X ,  Y } )  C_  U  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
2120expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  (
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) )  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
222, 21mt2d 117 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  -.  y  e.  ( U  \  ( N `  {
x } ) ) )
2322eq0rdv 3829 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  =  (/) )
24 ssdif0 3888 . . . 4  |-  ( U 
C_  ( N `  { x } )  <-> 
( U  \  ( N `  { x } ) )  =  (/) )
2523, 24sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  C_  ( N `  {
x } ) )
26 lveclmod 17879 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
276, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2827adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  W  e.  LMod )
298adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  e.  S )
30 eldifi 3622 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  x  e.  U )
3130adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  U )
324, 5, 28, 29, 31lspsnel5a 17769 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { x } )  C_  U
)
3325, 32eqssd 3516 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  =  ( N `  { x } ) )
3433ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  U  =  ( N `  { x } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    C_ wss 3471    C. wpss 3472   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   ` cfv 5594   Basecbs 14644   0gc0g 14857   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LSpanclspn 17744   LVecclvec 17875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876
This theorem is referenced by:  lspprat  17926
  Copyright terms: Public domain W3C validator