MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem6 Structured version   Unicode version

Theorem lsppratlem6 17211
Description: Lemma for lspprat 17212. Negating the assumption on  y, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
lsppratlem6.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  U  =  ( N `  { x } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem6
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspprat.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
21adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
3 lspprat.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lspprat.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5 lspprat.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 lspprat.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
8 lspprat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
98adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  U  e.  S )
10 lspprat.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1110adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  X  e.  V )
12 lspprat.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1312adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  Y  e.  V )
141adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
15 lsppratlem6.o . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
16 simprl 750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
17 simprr 751 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) )
183, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17lsppratlem5 17210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  C_  U
)
19 ssnpss 3456 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { X ,  Y } )  C_  U  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  /\  y  e.  ( U  \  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
2120expr 612 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  (
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) )  ->  -.  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
222, 21mt2d 117 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  -.  y  e.  ( U  \  ( N `  {
x } ) ) )
2322eq0rdv 3669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  =  (/) )
24 ssdif0 3734 . . . 4  |-  ( U 
C_  ( N `  { x } )  <-> 
( U  \  ( N `  { x } ) )  =  (/) )
2523, 24sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  C_  ( N `  {
x } ) )
26 lveclmod 17165 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
276, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2827adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  W  e.  LMod )
298adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  e.  S )
30 eldifi 3475 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  x  e.  U )
3130adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  x  e.  U )
324, 5, 28, 29, 31lspsnel5a 17055 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { x } )  C_  U
)
3325, 32eqssd 3370 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )  ->  U  =  ( N `  { x } ) )
3433ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  U  =  ( N `  { x } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    \ cdif 3322    C_ wss 3325    C. wpss 3326   (/)c0 3634   {csn 3874   {cpr 3876   ` cfv 5415   Basecbs 14170   0gc0g 14374   LModclmod 16928   LSubSpclss 16991   LSpanclspn 17030   LVecclvec 17161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-drng 16814  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-lvec 17162
This theorem is referenced by:  lspprat  17212
  Copyright terms: Public domain W3C validator