MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem4 Structured version   Unicode version

Theorem lsppratlem4 17355
Description: Lemma for lspprat 17358. In the second case of lsppratlem1 17352,  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  Y } ) and  y  e/  ( N `  { x } ) implies  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) and thus  X  e.  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem4.x3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem4
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17311 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspprat.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
6 lspprat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 lspprat.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
84, 5lssss 17142 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
109ssdifssd 3603 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  {  .0.  } )  C_  V
)
11 lsppratlem1.x2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1210, 11sseldd 3466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
139ssdifssd 3603 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
14 lsppratlem1.y2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
1513, 14sseldd 3466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
164, 5, 6, 3, 12, 15lspprcl 17183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  y } )  e.  S )
17 df-pr 3989 . . . . 5  |-  { x ,  Y }  =  ( { x }  u.  { Y } )
18 snsspr1 4131 . . . . . . 7  |-  { x }  C_  { x ,  y }
19 prssi 4138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  { x ,  y }  C_  V )
2012, 15, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
214, 6lspssid 17190 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V )  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
223, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2318, 22syl5ss 3476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2412snssd 4127 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
25 lspprat.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
26 lspprat.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2726pssssd 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
284, 5, 6, 3, 12, 25lspprcl 17183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  e.  S )
29 df-pr 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
30 lsppratlem4.x3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
3130snssd 4127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
32 snsspr2 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { Y }  C_  { x ,  Y }
33 prssi 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { x ,  Y }  C_  V )
3412, 25, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  V )
354, 6lspssid 17190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  Y }  C_  V )  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
363, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
3732, 36syl5ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
3831, 37unssd 3641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
3929, 38syl5eqss 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
405, 6lspssp 17193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  Y } )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
413, 28, 39, 40syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4227, 41sstrd 3475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4317fveq2i 5803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 { x ,  Y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )
4442, 43syl6sseq 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) )
4544ssdifd 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
4645, 14sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
474, 5, 6lspsolv 17348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
481, 24, 25, 46, 47syl13anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
49 df-pr 3989 . . . . . . . . 9  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
5049fveq2i 5803 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
5148, 50syl6eleqr 2553 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
5251snssd 4127 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5323, 52unssd 3641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5417, 53syl5eqss 3509 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
555, 6lspssp 17193 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  y } )  e.  S  /\  {
x ,  Y }  C_  ( N `  {
x ,  y } ) )  ->  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
563, 16, 54, 55syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5756, 30sseldd 3466 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
5857, 51jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437    C. wpss 3438   {csn 3986   {cpr 3988   ` cfv 5527   Basecbs 14293   0gc0g 14498   LModclmod 17072   LSubSpclss 17137   LSpanclspn 17176   LVecclvec 17307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-drng 16958  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-lvec 17308
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  17356
  Copyright terms: Public domain W3C validator