MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lsppratlem3 17208
Description: Lemma for lspprat 17212. In the first case of lsppratlem1 17206, since  x  e/  ( N `  (/) ), also  Y  e.  ( N `  {
x } ), and since  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { X ,  x } ) and  y  e/  ( N `  { x } ), we have  X  e.  ( N `  { x ,  y } ) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem3.x3  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17165 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
54snssd 4015 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
6 lspprat.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lspprat.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
86, 7lspssv 17042 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { Y }  C_  V )  ->  ( N `  { Y } )  C_  V )
93, 5, 8syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  V
)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
119, 10sseldd 3354 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
1211snssd 4015 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
13 lspprat.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lspprat.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
1514pssssd 3450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1613snssd 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
1712, 16unssd 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  V )
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
196, 18, 7lspcl 17035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S )
203, 17, 19syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  e.  S )
21 df-pr 3877 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
226, 7lspssid 17044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( { x }  u.  { X } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
233, 17, 22syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
2423unssbd 3531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
25 ssun1 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } )
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )
276, 7lspss 17043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V  /\  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
283, 17, 26, 27syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
29 0ss 3663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  C_  V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  V )
31 uncom 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  ( { Y }  u.  (/) )
32 un0 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { Y }  u.  (/) )  =  { Y }
3331, 32eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  { Y }
3433fveq2i 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } )
3510, 34syl6eleqr 2532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) ) )
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
3736eldifbd 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  {  .0.  } )
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3938, 7lsp0 17068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 (/) )  =  {  .0.  } )
403, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  (/) )  =  {  .0.  } )
4137, 40neleqtrrd 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  (/) ) )
4235, 41eldifd 3336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u. 
{ Y } ) )  \  ( N `
 (/) ) ) )
436, 18, 7lspsolv 17202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( (/)  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  (/) ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( (/) 
u.  { x }
) ) )
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) ) )
45 uncom 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  ( { x }  u.  (/) )
46 un0 3659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x }  u.  (/) )  =  { x }
4745, 46eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  { x }
4847fveq2i 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) )  =  ( N `  { x } )
4944, 48syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x }
) )
5028, 49sseldd 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { X } ) ) )
5150snssd 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5224, 51unssd 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5321, 52syl5eqss 3397 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5418, 7lspssp 17047 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
553, 20, 53, 54syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5615, 55sstrd 3363 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5756ssdifd 3489 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
5957, 58sseldd 3354 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
606, 18, 7lspsolv 17202 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  X  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1215 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
62 df-pr 3877 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
6362fveq2i 5691 . . 3  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
6461, 63syl6eleqr 2532 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
65 lspprat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
666, 18lssss 16996 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
6867ssdifssd 3491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
6968, 58sseldd 3354 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
7069snssd 4015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { y }  C_  V )
7112, 70unssd 3529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  V )
7262, 71syl5eqss 3397 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
73 snsspr1 4019 . . . . 5  |-  { x }  C_  { x ,  y }
7473a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  { x ,  y } )
756, 7lspss 17043 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V  /\  {
x }  C_  { x ,  y } )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
763, 72, 74, 75syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
7776, 49sseldd 3354 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
7864, 77jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    \ cdif 3322    u. cun 3323    C_ wss 3325    C. wpss 3326   (/)c0 3634   {csn 3874   {cpr 3876   ` cfv 5415   Basecbs 14170   0gc0g 14374   LModclmod 16928   LSubSpclss 16991   LSpanclspn 17030   LVecclvec 17161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-drng 16814  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-lvec 17162
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  17210
  Copyright terms: Public domain W3C validator