MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lsppratlem3 17363
Description: Lemma for lspprat 17367. In the first case of lsppratlem1 17361, since  x  e/  ( N `  (/) ), also  Y  e.  ( N `  {
x } ), and since  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { X ,  x } ) and  y  e/  ( N `  { x } ), we have  X  e.  ( N `  { x ,  y } ) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem3.x3  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17320 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
54snssd 4129 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
6 lspprat.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lspprat.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
86, 7lspssv 17197 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { Y }  C_  V )  ->  ( N `  { Y } )  C_  V )
93, 5, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  V
)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
119, 10sseldd 3468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
1211snssd 4129 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
13 lspprat.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lspprat.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
1514pssssd 3564 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1613snssd 4129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
1712, 16unssd 3643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  V )
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
196, 18, 7lspcl 17190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S )
203, 17, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  e.  S )
21 df-pr 3991 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
226, 7lspssid 17199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( { x }  u.  { X } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
233, 17, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
2423unssbd 3645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
25 ssun1 3630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } )
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )
276, 7lspss 17198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V  /\  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
283, 17, 26, 27syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
29 0ss 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  C_  V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  V )
31 uncom 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  ( { Y }  u.  (/) )
32 un0 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { Y }  u.  (/) )  =  { Y }
3331, 32eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  { Y }
3433fveq2i 5805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } )
3510, 34syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) ) )
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
3736eldifbd 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  {  .0.  } )
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3938, 7lsp0 17223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 (/) )  =  {  .0.  } )
403, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  (/) )  =  {  .0.  } )
4137, 40neleqtrrd 2567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  (/) ) )
4235, 41eldifd 3450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u. 
{ Y } ) )  \  ( N `
 (/) ) ) )
436, 18, 7lspsolv 17357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( (/)  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  (/) ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( (/) 
u.  { x }
) ) )
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) ) )
45 uncom 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  ( { x }  u.  (/) )
46 un0 3773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x }  u.  (/) )  =  { x }
4745, 46eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  { x }
4847fveq2i 5805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) )  =  ( N `  { x } )
4944, 48syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x }
) )
5028, 49sseldd 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { X } ) ) )
5150snssd 4129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5224, 51unssd 3643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5321, 52syl5eqss 3511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5418, 7lspssp 17202 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
553, 20, 53, 54syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5615, 55sstrd 3477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5756ssdifd 3603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
5957, 58sseldd 3468 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
606, 18, 7lspsolv 17357 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  X  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
62 df-pr 3991 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
6362fveq2i 5805 . . 3  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
6461, 63syl6eleqr 2553 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
65 lspprat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
666, 18lssss 17151 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
6867ssdifssd 3605 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
6968, 58sseldd 3468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
7069snssd 4129 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { y }  C_  V )
7112, 70unssd 3643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  V )
7262, 71syl5eqss 3511 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
73 snsspr1 4133 . . . . 5  |-  { x }  C_  { x ,  y }
7473a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  { x ,  y } )
756, 7lspss 17198 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V  /\  {
x }  C_  { x ,  y } )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
763, 72, 74, 75syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
7776, 49sseldd 3468 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
7864, 77jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3436    u. cun 3437    C_ wss 3439    C. wpss 3440   (/)c0 3748   {csn 3988   {cpr 3990   ` cfv 5529   Basecbs 14296   0gc0g 14501   LModclmod 17081   LSubSpclss 17146   LSpanclspn 17185   LVecclvec 17316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  17365
  Copyright terms: Public domain W3C validator