MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Unicode version

Theorem lsppratlem3 16176
Description: Lemma for lspprat 16180. In the first case of lsppratlem1 16174, since  x  e/  ( N `  (/) ), also  Y  e.  ( N `  {
x } ), and since  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { X ,  x } ) and  y  e/  ( N `  { x } ), we have  X  e.  ( N `  { x ,  y } ) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem3.x3  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16133 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
54snssd 3903 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
6 lspprat.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lspprat.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
86, 7lspssv 16014 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { Y }  C_  V )  ->  ( N `  { Y } )  C_  V )
93, 5, 8syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  V
)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
119, 10sseldd 3309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
1211snssd 3903 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
13 lspprat.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lspprat.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
1514pssssd 3404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1613snssd 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
1712, 16unssd 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  V )
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
196, 18, 7lspcl 16007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S )
203, 17, 19syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  e.  S )
21 df-pr 3781 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
226, 7lspssid 16016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( { x }  u.  { X } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
233, 17, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
2423unssbd 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
25 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } )
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )
276, 7lspss 16015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V  /\  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
283, 17, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
29 0ss 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  C_  V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  V )
31 uncom 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  ( { Y }  u.  (/) )
32 un0 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { Y }  u.  (/) )  =  { Y }
3331, 32eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  { Y }
3433fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } )
3510, 34syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) ) )
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
3736eldifbd 3293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  {  .0.  } )
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3938, 7lsp0 16040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 (/) )  =  {  .0.  } )
403, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  (/) )  =  {  .0.  } )
4137, 40neleqtrrd 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  (/) ) )
4235, 41eldifd 3291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u. 
{ Y } ) )  \  ( N `
 (/) ) ) )
436, 18, 7lspsolv 16170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( (/)  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  (/) ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( (/) 
u.  { x }
) ) )
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) ) )
45 uncom 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  ( { x }  u.  (/) )
46 un0 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x }  u.  (/) )  =  { x }
4745, 46eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  { x }
4847fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) )  =  ( N `  { x } )
4944, 48syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x }
) )
5028, 49sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { X } ) ) )
5150snssd 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5224, 51unssd 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5321, 52syl5eqss 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5418, 7lspssp 16019 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
553, 20, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5615, 55sstrd 3318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5756ssdifd 3443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
5957, 58sseldd 3309 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
606, 18, 7lspsolv 16170 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  X  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
62 df-pr 3781 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
6362fveq2i 5690 . . 3  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
6461, 63syl6eleqr 2495 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
65 lspprat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
666, 18lssss 15968 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
6867ssdifssd 3445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
6968, 58sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
7069snssd 3903 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { y }  C_  V )
7112, 70unssd 3483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  V )
7262, 71syl5eqss 3352 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
73 snsspr1 3907 . . . . 5  |-  { x }  C_  { x ,  y }
7473a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  { x ,  y } )
756, 7lspss 16015 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V  /\  {
x }  C_  { x ,  y } )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
763, 72, 74, 75syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
7776, 49sseldd 3309 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
7864, 77jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280    C. wpss 3281   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   ` cfv 5413   Basecbs 13424   0gc0g 13678   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002   LVecclvec 16129
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  16178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130
  Copyright terms: Public domain W3C validator