MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem1 Structured version   Unicode version

Theorem lsppratlem1 17919
Description: Lemma for lspprat 17925. Let  x  e.  ( U  \  { 0 } ) (if there is no such  x then  U is the zero subspace), and let  y  e.  ( U  \  ( N `
 { x }
) ) (assuming the conclusion is false). The goal is to write  X,  Y in terms of  x,  y, which would normally be done by solving the system of linear equations. The span equivalent of this process is lspsolv 17915 (hence the name), which we use extensively below. In this lemma, we show that since  x  e.  ( N `  { X ,  Y } ), either  x  e.  ( N `  { Y } ) or  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ). (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )

Proof of Theorem lsppratlem1
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
3 lspprat.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
43snssd 4177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  { Y }  C_  V
)
6 lspprat.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  V )
8 lspprat.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
98pssssd 3597 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
10 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  x  e.  U )
129, 11sseldd 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
13 prcom 4110 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
14 df-pr 4035 . . . . . . . . . 10  |-  { Y ,  X }  =  ( { Y }  u.  { X } )
1513, 14eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  ( { Y }  u.  { X } )
1615fveq2i 5875 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )
1712, 16syl6eleq 2555 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 ( { Y }  u.  { X } ) ) )
1817anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
( x  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) ) )
19 eldif 3481 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( N `
 ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) )  <->  ( x  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) ) )
2018, 19sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) ) )
21 lspprat.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
22 lspprat.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
23 lspprat.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2421, 22, 23lspsolv 17915 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { Y }  C_  V  /\  X  e.  V  /\  x  e.  (
( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { Y }  u.  {
x } ) ) )
252, 5, 7, 20, 24syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { x } ) ) )
26 df-pr 4035 . . . . . 6  |-  { Y ,  x }  =  ( { Y }  u.  { x } )
27 prcom 4110 . . . . . 6  |-  { Y ,  x }  =  {
x ,  Y }
2826, 27eqtr3i 2488 . . . . 5  |-  ( { Y }  u.  {
x } )  =  { x ,  Y }
2928fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( N `
 ( { Y }  u.  { x } ) )  =  ( N `  {
x ,  Y }
)
3025, 29syl6eleq 2555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )
3130ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
3231orrd 378 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471    C. wpss 3472   {csn 4032   {cpr 4034   ` cfv 5594   Basecbs 14643   0gc0g 14856   LSubSpclss 17704   LSpanclspn 17743   LVecclvec 17874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-drng 17524  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lvec 17875
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  17923
  Copyright terms: Public domain W3C validator