Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Unicode version

Theorem lspprat 17926
 Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v
lspprat.s
lspprat.n
lspprat.w
lspprat.u
lspprat.x
lspprat.y
lspprat.p
Assertion
Ref Expression
lspprat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 3888 . . 3
2 lspprat.w . . . . . . . 8
3 lveclmod 17879 . . . . . . . 8
42, 3syl 16 . . . . . . 7
5 lspprat.v . . . . . . . 8
6 eqid 2457 . . . . . . . 8
75, 6lmod0vcl 17668 . . . . . . 7
84, 7syl 16 . . . . . 6
98adantr 465 . . . . 5
10 simpr 461 . . . . . . 7
11 lspprat.u . . . . . . . . 9
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10
136, 12lss0ss 17722 . . . . . . . . 9
144, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . . 8
1514adantr 465 . . . . . . 7
1610, 15eqssd 3516 . . . . . 6
17 lspprat.n . . . . . . . . 9
186, 17lspsn0 17781 . . . . . . . 8
194, 18syl 16 . . . . . . 7
2019adantr 465 . . . . . 6
2116, 20eqtr4d 2501 . . . . 5
22 sneq 4042 . . . . . . . 8
2322fveq2d 5876 . . . . . . 7
2423eqeq2d 2471 . . . . . 6
2524rspcev 3210 . . . . 5
269, 21, 25syl2anc 661 . . . 4
2726ex 434 . . 3
281, 27syl5bir 218 . 2
295, 12lssss 17710 . . . . . . . 8
3011, 29syl 16 . . . . . . 7
3130ssdifssd 3638 . . . . . 6
3231sseld 3498 . . . . 5
33 lspprat.x . . . . . 6
34 lspprat.y . . . . . 6
35 lspprat.p . . . . . 6
365, 12, 17, 2, 11, 33, 34, 35, 6lsppratlem6 17925 . . . . 5
3732, 36jcad 533 . . . 4
3837eximdv 1711 . . 3
39 n0 3803 . . 3
40 df-rex 2813 . . 3
4138, 39, 403imtr4g 270 . 2
4228, 41pm2.61dne 2774 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819   wne 2652  wrex 2808   cdif 3468   wss 3471   wpss 3472  c0 3793  csn 4032  cpr 4034  cfv 5594  cbs 14644  c0g 14857  clmod 17639  clss 17705  clspn 17744  clvec 17875 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876 This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  37319
 Copyright terms: Public domain W3C validator