MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Unicode version

Theorem lspprat 17926
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if  z is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspprat  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, W    ph, z
Allowed substitution hints:    S( z)    X( z)    Y( z)

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 3888 . . 3  |-  ( U 
C_  { ( 0g
`  W ) }  <-> 
( U  \  {
( 0g `  W
) } )  =  (/) )
2 lspprat.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lveclmod 17879 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 lspprat.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
75, 6lmod0vcl 17668 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  W )  e.  V )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  e.  V )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  ( 0g `  W )  e.  V )
10 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  C_ 
{ ( 0g `  W ) } )
11 lspprat.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
136, 12lss0ss 17722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  { ( 0g `  W ) }  C_  U )
144, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  W ) }  C_  U )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  { ( 0g `  W ) }  C_  U )
1610, 15eqssd 3516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  =  { ( 0g `  W ) } )
17 lspprat.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
186, 17lspsn0 17781 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 { ( 0g
`  W ) } )  =  { ( 0g `  W ) } )
194, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( 0g `  W
) } )  =  { ( 0g `  W ) } )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  ( N `  { ( 0g `  W ) } )  =  { ( 0g `  W ) } )
2116, 20eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  =  ( N `  { ( 0g `  W ) } ) )
22 sneq 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  { z }  =  { ( 0g `  W ) } )
2322fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  ( N `  { z } )  =  ( N `  { ( 0g `  W ) } ) )
2423eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  ( U  =  ( N `  { z } )  <-> 
U  =  ( N `
 { ( 0g
`  W ) } ) ) )
2524rspcev 3210 . . . . 5  |-  ( ( ( 0g `  W
)  e.  V  /\  U  =  ( N `  { ( 0g `  W ) } ) )  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
269, 21, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
2726ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  C_  { ( 0g `  W ) }  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) ) )
281, 27syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  =  (/)  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) ) )
295, 12lssss 17710 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
3011, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
3130ssdifssd 3638 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  {
( 0g `  W
) } )  C_  V )
3231sseld 3498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  z  e.  V ) )
33 lspprat.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
34 lspprat.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
35 lspprat.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
365, 12, 17, 2, 11, 33, 34, 35, 6lsppratlem6 17925 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  =  ( N `  { z } ) ) )
3732, 36jcad 533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  (
z  e.  V  /\  U  =  ( N `  { z } ) ) ) )
3837eximdv 1711 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  E. z ( z  e.  V  /\  U  =  ( N `  { z } ) ) ) )
39 n0 3803 . . 3  |-  ( ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  ( U 
\  { ( 0g
`  W ) } ) )
40 df-rex 2813 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } )  <->  E. z ( z  e.  V  /\  U  =  ( N `  {
z } ) ) )
4138, 39, 403imtr4g 270 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  =/=  (/)  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) ) )
4228, 41pm2.61dne 2774 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808    \ cdif 3468    C_ wss 3471    C. wpss 3472   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   ` cfv 5594   Basecbs 14644   0gc0g 14857   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LSpanclspn 17744   LVecclvec 17875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  37319
  Copyright terms: Public domain W3C validator