MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Unicode version

Theorem lspprat 17234
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if  z is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspprat  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, W    ph, z
Allowed substitution hints:    S( z)    X( z)    Y( z)

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 3737 . . 3  |-  ( U 
C_  { ( 0g
`  W ) }  <-> 
( U  \  {
( 0g `  W
) } )  =  (/) )
2 lspprat.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lveclmod 17187 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 lspprat.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
75, 6lmod0vcl 16977 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  W )  e.  V )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  e.  V )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  ( 0g `  W )  e.  V )
10 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  C_ 
{ ( 0g `  W ) } )
11 lspprat.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
136, 12lss0ss 17030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  { ( 0g `  W ) }  C_  U )
144, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  W ) }  C_  U )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  { ( 0g `  W ) }  C_  U )
1610, 15eqssd 3373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  =  { ( 0g `  W ) } )
17 lspprat.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
186, 17lspsn0 17089 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 { ( 0g
`  W ) } )  =  { ( 0g `  W ) } )
194, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( 0g `  W
) } )  =  { ( 0g `  W ) } )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  ( N `  { ( 0g `  W ) } )  =  { ( 0g `  W ) } )
2116, 20eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  =  ( N `  { ( 0g `  W ) } ) )
22 sneq 3887 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  { z }  =  { ( 0g `  W ) } )
2322fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  ( N `  { z } )  =  ( N `  { ( 0g `  W ) } ) )
2423eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  ( U  =  ( N `  { z } )  <-> 
U  =  ( N `
 { ( 0g
`  W ) } ) ) )
2524rspcev 3073 . . . . 5  |-  ( ( ( 0g `  W
)  e.  V  /\  U  =  ( N `  { ( 0g `  W ) } ) )  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
269, 21, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
2726ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  C_  { ( 0g `  W ) }  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) ) )
281, 27syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  =  (/)  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) ) )
295, 12lssss 17018 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
3011, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
3130ssdifssd 3494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  {
( 0g `  W
) } )  C_  V )
3231sseld 3355 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  z  e.  V ) )
33 lspprat.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
34 lspprat.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
35 lspprat.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
365, 12, 17, 2, 11, 33, 34, 35, 6lsppratlem6 17233 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  =  ( N `  { z } ) ) )
3732, 36jcad 533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  (
z  e.  V  /\  U  =  ( N `  { z } ) ) ) )
3837eximdv 1676 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  E. z ( z  e.  V  /\  U  =  ( N `  { z } ) ) ) )
39 n0 3646 . . 3  |-  ( ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  ( U 
\  { ( 0g
`  W ) } ) )
40 df-rex 2721 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } )  <->  E. z ( z  e.  V  /\  U  =  ( N `  {
z } ) ) )
4138, 39, 403imtr4g 270 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  =/=  (/)  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) ) )
4228, 41pm2.61dne 2688 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716    \ cdif 3325    C_ wss 3328    C. wpss 3329   (/)c0 3637   {csn 3877   {cpr 3879   ` cfv 5418   Basecbs 14174   0gc0g 14378   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013   LSpanclspn 17052   LVecclvec 17183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  35094
  Copyright terms: Public domain W3C validator