MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Unicode version

Theorem lspprat 17670
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if  z is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspprat  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, W    ph, z
Allowed substitution hints:    S( z)    X( z)    Y( z)

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 3890 . . 3  |-  ( U 
C_  { ( 0g
`  W ) }  <-> 
( U  \  {
( 0g `  W
) } )  =  (/) )
2 lspprat.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lveclmod 17623 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 lspprat.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
75, 6lmod0vcl 17412 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  W )  e.  V )
84, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  W
)  e.  V )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  ( 0g `  W )  e.  V )
10 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  C_ 
{ ( 0g `  W ) } )
11 lspprat.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
136, 12lss0ss 17466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  { ( 0g `  W ) }  C_  U )
144, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  W ) }  C_  U )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  { ( 0g `  W ) }  C_  U )
1610, 15eqssd 3526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  =  { ( 0g `  W ) } )
17 lspprat.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
186, 17lspsn0 17525 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 { ( 0g
`  W ) } )  =  { ( 0g `  W ) } )
194, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( 0g `  W
) } )  =  { ( 0g `  W ) } )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  ( N `  { ( 0g `  W ) } )  =  { ( 0g `  W ) } )
2116, 20eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  =  ( N `  { ( 0g `  W ) } ) )
22 sneq 4043 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  { z }  =  { ( 0g `  W ) } )
2322fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  ( N `  { z } )  =  ( N `  { ( 0g `  W ) } ) )
2423eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  ( U  =  ( N `  { z } )  <-> 
U  =  ( N `
 { ( 0g
`  W ) } ) ) )
2524rspcev 3219 . . . . 5  |-  ( ( ( 0g `  W
)  e.  V  /\  U  =  ( N `  { ( 0g `  W ) } ) )  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
269, 21, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U  C_  { ( 0g `  W ) } )  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
2726ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  C_  { ( 0g `  W ) }  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) ) )
281, 27syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  =  (/)  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) ) )
295, 12lssss 17454 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
3011, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
3130ssdifssd 3647 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  {
( 0g `  W
) } )  C_  V )
3231sseld 3508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  z  e.  V ) )
33 lspprat.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
34 lspprat.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
35 lspprat.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
365, 12, 17, 2, 11, 33, 34, 35, 6lsppratlem6 17669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  U  =  ( N `  { z } ) ) )
3732, 36jcad 533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  (
z  e.  V  /\  U  =  ( N `  { z } ) ) ) )
3837eximdv 1686 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  z  e.  ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  E. z ( z  e.  V  /\  U  =  ( N `  { z } ) ) ) )
39 n0 3799 . . 3  |-  ( ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  ( U 
\  { ( 0g
`  W ) } ) )
40 df-rex 2823 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } )  <->  E. z ( z  e.  V  /\  U  =  ( N `  {
z } ) ) )
4138, 39, 403imtr4g 270 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  { ( 0g `  W ) } )  =/=  (/)  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) ) )
4228, 41pm2.61dne 2784 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  U  =  ( N `  { z } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818    \ cdif 3478    C_ wss 3481    C. wpss 3482   (/)c0 3790   {csn 4033   {cpr 4035   ` cfv 5594   Basecbs 14507   0gc0g 14712   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449   LSpanclspn 17488   LVecclvec 17619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  36647
  Copyright terms: Public domain W3C validator