MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppr0 Structured version   Unicode version

Theorem lsppr0 17514
Description: The span of a vector paired with zero equals the span of the singleton of the vector. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsppr0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppr0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsppr0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsppr0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsppr0  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  .0.  } )  =  ( N `  { X } ) )

Proof of Theorem lsppr0
StepHypRef Expression
1 lsppr0.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lsppr0.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 eqid 2460 . . 3  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
4 lsppr0.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 lsppr0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 lsppr0.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
71, 6lmod0vcl 17317 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
84, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
91, 2, 3, 4, 5, 8lsmpr 17511 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  .0.  } )  =  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  {  .0.  } ) ) )
106, 2lspsn0 17430 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
114, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
1211oveq2d 6291 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  {  .0.  } ) )  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) {  .0.  } ) )
131, 2lspsnsubg 17402 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
144, 5, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
156, 3lsm01 16478 . . 3  |-  ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  ->  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) {  .0.  } )  =  ( N `
 { X }
) )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) {  .0.  } )  =  ( N `  { X } ) )
179, 12, 163eqtrd 2505 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  .0.  } )  =  ( N `  { X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   {csn 4020   {cpr 4022   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   0gc0g 14684  SubGrpcsubg 15983   LSSumclsm 16443   LModclmod 17288   LSpanclspn 17393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394
This theorem is referenced by:  lspfixed  17550  dihprrn  36098  dvh3dim  36118  mapdindp2  36393  hdmap11lem2  36517
  Copyright terms: Public domain W3C validator