MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindpi Structured version   Unicode version

Theorem lspindpi 17976
Description: Partial independence property. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindpi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindpi.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindpi.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindpi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindpi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindpi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindpi.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindpi  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )

Proof of Theorem lspindpi
StepHypRef Expression
1 lspindpi.e . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
2 lspindpi.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lveclmod 17950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
65lsssssubg 17802 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
8 lspindpi.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 lspindpi.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 lspindpi.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 5, 10lspsncl 17821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
124, 8, 11syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
137, 12sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lspindpi.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
159, 5, 10lspsncl 17821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
164, 14, 15syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
177, 16sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1918lsmub1 16878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2013, 17, 19syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
219, 10, 18, 4, 8, 14lsmpr 17933 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  =  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2220, 21sseqtr4d 3526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
23 sseq1 3510 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { Y } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2422, 23syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
259, 5, 10, 4, 8, 14lspprcl 17822 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
26 lspindpi.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
279, 5, 10, 4, 25, 26lspsnel5 17839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2824, 27sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2928necon3bd 2666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
301, 29mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3118lsmub2 16879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( N `  { Z } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3213, 17, 31syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3332, 21sseqtr4d 3526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
34 sseq1 3510 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { Z } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3533, 34syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
3635, 27sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3736necon3bd 2666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
381, 37mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3930, 38jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719  SubGrpcsubg 16397   LSSumclsm 16856   LModclmod 17710   LSubSpclss 17776   LSpanclspn 17815   LVecclvec 17946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-cntz 16557  df-lsm 16858  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-lvec 17947
This theorem is referenced by:  lspindp1  17977  baerlem5amN  37859  baerlem5bmN  37860  baerlem5abmN  37861  mapdindp4  37866  mapdh6bN  37880  mapdh6cN  37881  mapdh6dN  37882  mapdh6eN  37883  mapdh6fN  37884  mapdh6hN  37886  mapdh7eN  37891  mapdh7dN  37893  mapdh7fN  37894  mapdh75fN  37898  mapdh8aa  37919  mapdh8ab  37920  mapdh8ad  37922  mapdh8c  37924  mapdh8d0N  37925  mapdh8d  37926  mapdh8e  37927  mapdh9a  37933  mapdh9aOLDN  37934  hdmap1eq4N  37950  hdmap1l6b  37955  hdmap1l6c  37956  hdmap1l6d  37957  hdmap1l6e  37958  hdmap1l6f  37959  hdmap1l6h  37961  hdmap1eulemOLDN  37968  hdmapval0  37979  hdmapval3lemN  37983  hdmap10lem  37985  hdmap11lem1  37987  hdmap14lem11  38024
  Copyright terms: Public domain W3C validator