MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindpi Structured version   Unicode version

Theorem lspindpi 17305
Description: Partial independence property. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindpi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindpi.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindpi.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindpi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindpi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindpi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindpi.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindpi  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )

Proof of Theorem lspindpi
StepHypRef Expression
1 lspindpi.e . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
2 lspindpi.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lveclmod 17279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
5 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
65lsssssubg 17131 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
8 lspindpi.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 lspindpi.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 lspindpi.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 5, 10lspsncl 17150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
124, 8, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
137, 12sseldd 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lspindpi.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
159, 5, 10lspsncl 17150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
164, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
177, 16sseldd 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1918lsmub1 16245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2013, 17, 19syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
219, 10, 18, 4, 8, 14lsmpr 17262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  =  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2220, 21sseqtr4d 3477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
23 sseq1 3461 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { Y } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2422, 23syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
259, 5, 10, 4, 8, 14lspprcl 17151 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
26 lspindpi.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
279, 5, 10, 4, 25, 26lspsnel5 17168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2824, 27sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
2928necon3bd 2657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
301, 29mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3118lsmub2 16246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( N `  { Z } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3213, 17, 31syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  C_  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3332, 21sseqtr4d 3477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
34 sseq1 3461 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { Z } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3533, 34syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
3635, 27sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Z } )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3736necon3bd 2657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
381, 37mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3930, 38jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641    C_ wss 3412   {csn 3961   {cpr 3963   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Basecbs 14262  SubGrpcsubg 15763   LSSumclsm 16223   LModclmod 17040   LSubSpclss 17105   LSpanclspn 17144   LVecclvec 17275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-0g 14468  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-subg 15766  df-cntz 15923  df-lsm 16225  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-lmod 17042  df-lss 17106  df-lsp 17145  df-lvec 17276
This theorem is referenced by:  lspindp1  17306  baerlem5amN  35643  baerlem5bmN  35644  baerlem5abmN  35645  mapdindp4  35650  mapdh6bN  35664  mapdh6cN  35665  mapdh6dN  35666  mapdh6eN  35667  mapdh6fN  35668  mapdh6hN  35670  mapdh7eN  35675  mapdh7dN  35677  mapdh7fN  35678  mapdh75fN  35682  mapdh8aa  35703  mapdh8ab  35704  mapdh8ad  35706  mapdh8c  35708  mapdh8d0N  35709  mapdh8d  35710  mapdh8e  35711  mapdh9a  35717  mapdh9aOLDN  35718  hdmap1eq4N  35734  hdmap1l6b  35739  hdmap1l6c  35740  hdmap1l6d  35741  hdmap1l6e  35742  hdmap1l6f  35743  hdmap1l6h  35745  hdmap1eulemOLDN  35752  hdmapval0  35763  hdmapval3lemN  35767  hdmap10lem  35769  hdmap11lem1  35771  hdmap14lem11  35808
  Copyright terms: Public domain W3C validator