Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lspindp5 Structured version   Unicode version

Theorem lspindp5 35778
Description: Obtain an independent vector set  U ,  X ,  Y from a vector  U dependent on  X and  Z and another independent set  Z ,  X ,  Y. (Here we don't show the  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) part of the independence, which passes straight through. We also don't show nonzero vector requirements that are redundant for this theorem. Different orderings can be obtained using lspexch 17343 and prcom 4064.) (Contributed by NM, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp5.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp5.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp5.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp5.y  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindp5.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp5.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
lspindp5.e  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { X ,  U } ) )
lspindp5.m  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp5  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem lspindp5
StepHypRef Expression
1 lspindp5.m . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2 lspindp5.e . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { X ,  U } ) )
3 ssel 3461 . . . 4  |-  ( ( N `  { X ,  U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  -> 
( Z  e.  ( N `  { X ,  U } )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
42, 3syl5com 30 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  U }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
51, 4mtod 177 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X ,  U }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
6 lspindp5.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 17320 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
9 lspindp5.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lspindp5.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
11 prssi 4140 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
13 snsspr1 4133 . . . . . . 7  |-  { X }  C_  { X ,  Y }
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  { X ,  Y }
)
15 lspindp5.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 lspindp5.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1715, 16lspss 17198 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V  /\  { X }  C_  { X ,  Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
188, 12, 14, 17syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1918biantrurd 508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) ) )
20 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2120lsssssubg 17172 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
228, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
2315, 20, 16lspsncl 17191 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
248, 9, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
2522, 24sseldd 3468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
26 lspindp5.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
2715, 20, 16lspsncl 17191 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  V )  ->  ( N `  { U } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
288, 26, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { U } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
2922, 28sseldd 3468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { U } )  e.  (SubGrp `  W ) )
3015, 20, 16, 8, 9, 10lspprcl 17192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
3122, 30sseldd 3468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  (SubGrp `  W ) )
32 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3332lsmlub 16287 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { U } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X ,  Y } )  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  <-> 
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { U } ) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3425, 29, 31, 33syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { X }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  <-> 
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { U } ) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3519, 34bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { U }
) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3615, 20, 16, 8, 30, 26lspsnel5 17209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( N `  { U } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
3715, 16, 32, 8, 9, 26lsmpr 17303 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  U }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { U }
) ) )
3837sseq1d 3494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  U }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { U }
) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3935, 36, 383bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( N `  { X ,  U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
405, 39mtbird 301 1  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   {csn 3988   {cpr 3990   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296  SubGrpcsubg 15798   LSSumclsm 16258   LModclmod 17081   LSubSpclss 17146   LSpanclspn 17185   LVecclvec 17316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317
This theorem is referenced by:  mapdh8b  35788
  Copyright terms: Public domain W3C validator