Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lspindp5 Structured version   Unicode version

Theorem lspindp5 36968
Description: Obtain an independent vector set  U ,  X ,  Y from a vector  U dependent on  X and  Z and another independent set  Z ,  X ,  Y. (Here we don't show the  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) part of the independence, which passes straight through. We also don't show nonzero vector requirements that are redundant for this theorem. Different orderings can be obtained using lspexch 17646 and prcom 4111.) (Contributed by NM, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp5.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp5.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp5.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp5.y  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindp5.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp5.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
lspindp5.e  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { X ,  U } ) )
lspindp5.m  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp5  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem lspindp5
StepHypRef Expression
1 lspindp5.m . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2 lspindp5.e . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { X ,  U } ) )
3 ssel 3503 . . . 4  |-  ( ( N `  { X ,  U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  -> 
( Z  e.  ( N `  { X ,  U } )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
42, 3syl5com 30 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  U }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
51, 4mtod 177 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X ,  U }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
6 lspindp5.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 17623 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
9 lspindp5.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lspindp5.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
11 prssi 4189 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
13 snsspr1 4182 . . . . . . 7  |-  { X }  C_  { X ,  Y }
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  { X ,  Y }
)
15 lspindp5.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 lspindp5.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1715, 16lspss 17501 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V  /\  { X }  C_  { X ,  Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
188, 12, 14, 17syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1918biantrurd 508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) ) )
20 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2120lsssssubg 17475 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
228, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
2315, 20, 16lspsncl 17494 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
248, 9, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
2522, 24sseldd 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
26 lspindp5.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
2715, 20, 16lspsncl 17494 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  V )  ->  ( N `  { U } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
288, 26, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { U } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
2922, 28sseldd 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { U } )  e.  (SubGrp `  W ) )
3015, 20, 16, 8, 9, 10lspprcl 17495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
3122, 30sseldd 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  (SubGrp `  W ) )
32 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3332lsmlub 16556 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { U } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X ,  Y } )  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  <-> 
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { U } ) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3425, 29, 31, 33syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { X }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  <-> 
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { U } ) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3519, 34bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { U }
) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3615, 20, 16, 8, 30, 26lspsnel5 17512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( N `  { U } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
3715, 16, 32, 8, 9, 26lsmpr 17606 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  U }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { U }
) ) )
3837sseq1d 3536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  U }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { U }
) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3935, 36, 383bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( N `  { X ,  U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
405, 39mtbird 301 1  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507  SubGrpcsubg 16067   LSSumclsm 16527   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449   LSpanclspn 17488   LVecclvec 17619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620
This theorem is referenced by:  mapdh8b  36978
  Copyright terms: Public domain W3C validator