Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lspindp5 Structured version   Unicode version

Theorem lspindp5 37199
Description: Obtain an independent vector set  U ,  X ,  Y from a vector  U dependent on  X and  Z and another independent set  Z ,  X ,  Y. (Here we don't show the  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) part of the independence, which passes straight through. We also don't show nonzero vector requirements that are redundant for this theorem. Different orderings can be obtained using lspexch 17643 and prcom 4089.) (Contributed by NM, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp5.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp5.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp5.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp5.y  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindp5.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp5.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
lspindp5.e  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { X ,  U } ) )
lspindp5.m  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp5  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem lspindp5
StepHypRef Expression
1 lspindp5.m . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2 lspindp5.e . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { X ,  U } ) )
3 ssel 3480 . . . 4  |-  ( ( N `  { X ,  U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  -> 
( Z  e.  ( N `  { X ,  U } )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
42, 3syl5com 30 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  U }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
51, 4mtod 177 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X ,  U }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
6 lspindp5.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 17620 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
9 lspindp5.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lspindp5.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
11 prssi 4167 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
13 snsspr1 4160 . . . . . . 7  |-  { X }  C_  { X ,  Y }
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  { X ,  Y }
)
15 lspindp5.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 lspindp5.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1715, 16lspss 17498 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V  /\  { X }  C_  { X ,  Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
188, 12, 14, 17syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1918biantrurd 508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) ) )
20 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2120lsssssubg 17472 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
228, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
2315, 20, 16lspsncl 17491 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
248, 9, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
2522, 24sseldd 3487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
26 lspindp5.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
2715, 20, 16lspsncl 17491 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  V )  ->  ( N `  { U } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
288, 26, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { U } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
2922, 28sseldd 3487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { U } )  e.  (SubGrp `  W ) )
3015, 20, 16, 8, 9, 10lspprcl 17492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
3122, 30sseldd 3487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  (SubGrp `  W ) )
32 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3332lsmlub 16552 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { U } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X ,  Y } )  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  <-> 
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { U } ) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3425, 29, 31, 33syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { X }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  <-> 
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { U } ) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3519, 34bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { U }
) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3615, 20, 16, 8, 30, 26lspsnel5 17509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( N `  { U } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
3715, 16, 32, 8, 9, 26lsmpr 17603 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  U }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { U }
) ) )
3837sseq1d 3513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X ,  U }
)  C_  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { U }
) )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3935, 36, 383bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  ( N `  { X ,  U } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
405, 39mtbird 301 1  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    C_ wss 3458   {csn 4010   {cpr 4012   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504  SubGrpcsubg 16064   LSSumclsm 16523   LModclmod 17380   LSubSpclss 17446   LSpanclspn 17485   LVecclvec 17616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-subg 16067  df-cntz 16224  df-lsm 16525  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-lsp 17486  df-lvec 17617
This theorem is referenced by:  mapdh8b  37209
  Copyright terms: Public domain W3C validator