MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp3 Structured version   Unicode version

Theorem lspindp3 17914
Description: Independence of 2 vectors is preserved by vector sum. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspindp3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindp3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp3.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem lspindp3
StepHypRef Expression
1 lspindp3.e . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 lspindp3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspindp3.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 lspindp3.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 lspindp3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 lspindp3.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  W  e.  LVec )
8 lspindp3.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  X  e.  V )
10 lspindp3.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
12 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )
132, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12lspabs2 17898 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
1413ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  -> 
( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
1514necon3d 2616 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
161, 15mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587    \ cdif 3399   {csn 3957   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   Basecbs 14653   +g cplusg 14721   0gc0g 14866   LSpanclspn 17749   LVecclvec 17880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-tpos 6891  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-0g 14868  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-submnd 16103  df-grp 16193  df-minusg 16194  df-sbg 16195  df-subg 16334  df-cntz 16491  df-lsm 16792  df-cmn 16936  df-abl 16937  df-mgp 17274  df-ur 17286  df-ring 17332  df-oppr 17404  df-dvdsr 17422  df-unit 17423  df-invr 17453  df-drng 17530  df-lmod 17646  df-lss 17711  df-lsp 17750  df-lvec 17881
This theorem is referenced by:  mapdindp4  37898  hdmaprnlem3uN  38029
  Copyright terms: Public domain W3C validator