MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp2l Structured version   Unicode version

Theorem lspindp2l 17592
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate left). (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp1.y  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp1.z  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp1.x  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindp1.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lspindp1.e  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp2l  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )

Proof of Theorem lspindp2l
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspindp1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspindp1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lspindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lspindp1.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 lspindp1.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 lspindp1.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
9 lspindp1.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lspindp1 17591 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )
1110simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1211necomd 2738 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
1310simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
14 prcom 4105 . . . . 5  |-  { Z ,  Y }  =  { Y ,  Z }
1514fveq2i 5869 . . . 4  |-  ( N `
 { Z ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  Z } )
1615eleq2i 2545 . . 3  |-  ( X  e.  ( N `  { Z ,  Y }
)  <->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
1713, 16sylnib 304 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
1812, 17jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3473   {csn 4027   {cpr 4029   ` cfv 5588   Basecbs 14493   0gc0g 14698   LSpanclspn 17429   LVecclvec 17560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-cntz 16169  df-lsm 16471  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-drng 17210  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-lvec 17561
This theorem is referenced by:  mapdh8e  36798
  Copyright terms: Public domain W3C validator