MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp2l Structured version   Unicode version

Theorem lspindp2l 18298
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate left). (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp1.y  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp1.z  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp1.x  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindp1.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lspindp1.e  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp2l  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )

Proof of Theorem lspindp2l
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspindp1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspindp1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lspindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lspindp1.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 lspindp1.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 lspindp1.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
9 lspindp1.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lspindp1 18297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )
1110simpld 460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1211necomd 2693 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
1310simprd 464 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
14 prcom 4072 . . . . 5  |-  { Z ,  Y }  =  { Y ,  Z }
1514fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( N `
 { Z ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  Z } )
1615eleq2i 2498 . . 3  |-  ( X  e.  ( N `  { Z ,  Y }
)  <->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
1713, 16sylnib 305 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
1812, 17jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616    \ cdif 3430   {csn 3993   {cpr 3995   ` cfv 5592   Basecbs 15081   0gc0g 15298   LSpanclspn 18135   LVecclvec 18266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-0g 15300  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-subg 16766  df-cntz 16923  df-lsm 17229  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-oppr 17792  df-dvdsr 17810  df-unit 17811  df-invr 17841  df-drng 17918  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-lvec 18267
This theorem is referenced by:  mapdh8e  35105
  Copyright terms: Public domain W3C validator