MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp2 Structured version   Unicode version

Theorem lspindp2 18099
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate right). (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspindp2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindp2.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lspindp2.e  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  X } ) ) )

Proof of Theorem lspindp2
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . 2  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspindp1.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspindp1.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspindp1.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lspindp2.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lspindp2.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 lspindp2.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 lspindp2.q . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
98necomd 2674 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { X } ) )
10 lspindp2.e . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
11 prcom 4049 . . . . 5  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
1211fveq2i 5851 . . . 4  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  X } )
1312eleq2i 2480 . . 3  |-  ( Z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
1410, 13sylnib 302 . 2  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 14lspindp1 18097 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  X } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3410   {csn 3971   {cpr 3973   ` cfv 5568   Basecbs 14839   0gc0g 15052   LSpanclspn 17935   LVecclvec 18066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  34731  mapdheq4  34732  mapdh6lem1N  34733  mapdh6lem2N  34734  mapdh6aN  34735  hdmap1l6lem1  34808  hdmap1l6lem2  34809  hdmap1l6a  34810
  Copyright terms: Public domain W3C validator