MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp1 Structured version   Unicode version

Theorem lspindp1 17332
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (swap 1st and 2nd). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp1.y  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp1.z  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp1.x  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindp1.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lspindp1.e  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )

Proof of Theorem lspindp1
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspindp1.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspindp1.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lspindp1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
5 lspindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
65eldifad 3443 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 lspindp1.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
8 lspindp1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
91, 2, 3, 4, 6, 7, 8lspindpi 17331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
109simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
11 lspindp1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
123adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
135adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
144adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Z  e.  V
)
157adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
16 lspindp1.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
18 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
191, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 17, 18lspexch 17328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
208, 19mtand 659 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
2110, 20jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645    \ cdif 3428   {csn 3980   {cpr 3982   ` cfv 5521   Basecbs 14287   0gc0g 14492   LSpanclspn 17170   LVecclvec 17301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cntz 15949  df-lsm 16251  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-drng 16952  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-lvec 17302
This theorem is referenced by:  lspindp2l  17333  lspindp2  17334  mapdindp3  35686  mapdindp4  35687  mapdheq4lem  35695  mapdheq4  35696  mapdh6lem1N  35697  mapdh6lem2N  35698  mapdh6aN  35699  mapdh6dN  35703  mapdh6eN  35704  mapdh6fN  35705  mapdh7dN  35714  hdmap1l6lem1  35772  hdmap1l6lem2  35773  hdmap1l6a  35774  hdmap1l6d  35778  hdmap1l6e  35779  hdmap1l6f  35780
  Copyright terms: Public domain W3C validator