MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp1 Structured version   Unicode version

Theorem lspindp1 18097
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (swap 1st and 2nd). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspindp1.y  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspindp1.z  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspindp1.x  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspindp1.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lspindp1.e  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspindp1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )

Proof of Theorem lspindp1
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspindp1.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspindp1.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lspindp1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
5 lspindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
65eldifad 3425 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 lspindp1.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
8 lspindp1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
91, 2, 3, 4, 6, 7, 8lspindpi 18096 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
109simprd 461 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
11 lspindp1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
123adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
135adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
144adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Z  e.  V
)
157adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
16 lspindp1.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1716adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
18 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
191, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 17, 18lspexch 18093 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )  ->  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
208, 19mtand 657 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
2110, 20jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3410   {csn 3971   {cpr 3973   ` cfv 5568   Basecbs 14839   0gc0g 15052   LSpanclspn 17935   LVecclvec 18066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067
This theorem is referenced by:  lspindp2l  18098  lspindp2  18099  mapdindp3  34722  mapdindp4  34723  mapdheq4lem  34731  mapdheq4  34732  mapdh6lem1N  34733  mapdh6lem2N  34734  mapdh6aN  34735  mapdh6dN  34739  mapdh6eN  34740  mapdh6fN  34741  mapdh7dN  34750  hdmap1l6lem1  34808  hdmap1l6lem2  34809  hdmap1l6a  34810  hdmap1l6d  34814  hdmap1l6e  34815  hdmap1l6f  34816
  Copyright terms: Public domain W3C validator