Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspextmo Structured version   Unicode version

Theorem lspextmo 18279
 Description: A linear function is completely determined (or overdetermined) by its values on a spanning subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lspextmo.b
lspextmo.k
Assertion
Ref Expression
lspextmo LMHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lspextmo
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqtr3 2450 . . . 4
2 inss1 3682 . . . . . . . . 9
3 dmss 5053 . . . . . . . . 9
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8
5 lspextmo.b . . . . . . . . . . . . 13
6 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6lmhmf 18257 . . . . . . . . . . . 12 LMHom
87ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11 LMHom LMHom
9 ffn 5746 . . . . . . . . . . 11
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 LMHom LMHom
1110adantrr 721 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
12 fndm 5693 . . . . . . . . 9
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
144, 13syl5sseq 3512 . . . . . . 7 LMHom LMHom
15 simplr 760 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
16 lmhmlmod1 18256 . . . . . . . . . . 11 LMHom
1716adantr 466 . . . . . . . . . 10 LMHom LMHom
1817ad2antrl 732 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
19 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
2019lmhmeql 18278 . . . . . . . . . 10 LMHom LMHom
2120ad2antrl 732 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
22 simprr 764 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
23 lspextmo.k . . . . . . . . . 10
2419, 23lspssp 18211 . . . . . . . . 9
2518, 21, 22, 24syl3anc 1264 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
2615, 25eqsstr3d 3499 . . . . . . 7 LMHom LMHom
2714, 26eqssd 3481 . . . . . 6 LMHom LMHom
2827expr 618 . . . . 5 LMHom LMHom
29 simprr 764 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom
305, 6lmhmf 18257 . . . . . . 7 LMHom
31 ffn 5746 . . . . . . 7
3229, 30, 313syl 18 . . . . . 6 LMHom LMHom
33 simpll 758 . . . . . 6 LMHom LMHom
34 fnreseql 6008 . . . . . 6
3510, 32, 33, 34syl3anc 1264 . . . . 5 LMHom LMHom
36 fneqeql 6006 . . . . . 6
3710, 32, 36syl2anc 665 . . . . 5 LMHom LMHom
3828, 35, 373imtr4d 271 . . . 4 LMHom LMHom
391, 38syl5 33 . . 3 LMHom LMHom
4039ralrimivva 2843 . 2 LMHom LMHom
41 reseq1 5118 . . . 4
4241eqeq1d 2424 . . 3
4342rmo4 3263 . 2 LMHom LMHom LMHom
4440, 43sylibr 215 1 LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  wrmo 2774   cin 3435   wss 3436   cdm 4853   cres 4855   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6306  cbs 15121  clmod 18091  clss 18155  clspn 18194   LMHom clmhm 18242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lmhm 18245 This theorem is referenced by:  frlmup4  19358
 Copyright terms: Public domain W3C validator