MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisjb Structured version   Unicode version

Theorem lspdisjb 18348
Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisjb.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspdisjb.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspdisjb.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspdisjb.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspdisjb.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspdisjb.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspdisjb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
lspdisjb  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  U  <->  ( ( N `
 { X }
)  i^i  U )  =  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lspdisjb
StepHypRef Expression
1 lspdisjb.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspdisjb.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lspdisjb.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspdisjb.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5 lspdisjb.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
65adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  W  e.  LVec )
7 lspdisjb.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
87adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  U  e.  S )
9 lspdisjb.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
109eldifad 3448 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1110adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  X  e.  V )
12 simpr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  -.  X  e.  U )
131, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12lspdisj 18347 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  U )  ->  (
( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
14 eldifsni 4126 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
159, 14syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
1615adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
17 lveclmod 18328 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
185, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
191, 3lspsnid 18215 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
2018, 10, 19syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
21 elin 3649 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( ( N `
 { X }
)  i^i  U )  <->  ( X  e.  ( N `
 { X }
)  /\  X  e.  U ) )
22 eleq2 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( ( N `  { X } )  i^i 
U )  <->  X  e.  {  .0.  } ) )
23 elsni 4023 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  {  .0.  }  ->  X  =  .0.  )
2422, 23syl6bi 231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( ( N `  { X } )  i^i 
U )  ->  X  =  .0.  ) )
2521, 24syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( ( X  e.  ( N `  { X } )  /\  X  e.  U )  ->  X  =  .0.  )
)
2625expd 437 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  }  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  ->  ( X  e.  U  ->  X  =  .0.  ) ) )
2720, 26mpan9 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  ( X  e.  U  ->  X  =  .0.  ) )
2827necon3ad 2630 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  -.  X  e.  U ) )
2916, 28mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { X } )  i^i  U
)  =  {  .0.  } )  ->  -.  X  e.  U )
3013, 29impbida 840 1  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  U  <->  ( ( N `
 { X }
)  i^i  U )  =  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    \ cdif 3433    i^i cin 3435   {csn 3998   ` cfv 5601   Basecbs 15120   0gc0g 15337   LModclmod 18090   LSubSpclss 18154   LSpanclspn 18193   LVecclvec 18324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-drng 17976  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lsp 18194  df-lvec 18325
This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  35273  hdmap1l6b0N  35348
  Copyright terms: Public domain W3C validator