MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisj2 Structured version   Unicode version

Theorem lspdisj2 18349
Description: Unequal spans are disjoint (share only the zero vector). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisj2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspdisj2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspdisj2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspdisj2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspdisj2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspdisj2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspdisj2.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspdisj2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem lspdisj2
StepHypRef Expression
1 sneq 4008 . . . . . 6  |-  ( X  =  .0.  ->  { X }  =  {  .0.  } )
21fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( X  =  .0.  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  {  .0.  } ) )
3 lspdisj2.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 18328 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lspdisj2.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
7 lspdisj2.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
86, 7lspsn0 18230 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
95, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
102, 9sylan9eqr 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =  {  .0.  } )
1110ineq1d 3663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  ( {  .0.  }  i^i  ( N `  { Y } ) ) )
12 lspdisj2.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 lspdisj2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
1513, 14, 7lspsncl 18199 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
165, 12, 15syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
176, 14lss0ss 18171 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  {  .0.  }  C_  ( N `  { Y } ) )
185, 16, 17syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( N `  { Y } ) )
19 df-ss 3450 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C_  ( N `  { Y } )  <->  ( {  .0.  }  i^i  ( N `
 { Y }
) )  =  {  .0.  } )
2018, 19sylib 199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  }  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
2120adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( {  .0.  }  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
2211, 21eqtrd 2463 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  .0.  )  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
233adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  W  e. 
LVec )
2416adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  ( N `
 { Y }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
25 lspdisj2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2625adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  V )
27 lspdisj2.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2827adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =/=  ( N `
 { Y }
) )
2923adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  .0.  )  /\  X  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
3012adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  Y  e.  V )
3130adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  .0.  )  /\  X  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  Y  e.  V )
32 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  .0.  )  /\  X  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y } ) )
33 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  .0.  )  /\  X  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  =/=  .0.  )
3413, 6, 7, 29, 31, 32, 33lspsneleq 18337 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  =/=  .0.  )  /\  X  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
3534ex 435 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  -> 
( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
3635necon3ad 2630 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) ) )
3728, 36mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
3813, 6, 7, 14, 23, 24, 26, 37lspdisj 18347 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
3922, 38pm2.61dane 2738 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    i^i cin 3435    C_ wss 3436   {csn 3998   ` cfv 5601   Basecbs 15120   0gc0g 15337   LModclmod 18090   LSubSpclss 18154   LSpanclspn 18193   LVecclvec 18324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-drng 17976  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lsp 18194  df-lvec 18325
This theorem is referenced by:  lvecindp2  18361  hdmaprnlem9N  35397
  Copyright terms: Public domain W3C validator