MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspcl Structured version   Unicode version

Theorem lspcl 17402
Description: The span of a set of vectors is a subspace. (spancl 25927 analog.) (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  e.  S )

Proof of Theorem lspcl
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
41, 2, 3lspf 17400 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )
5 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
61, 5eqeltri 2551 . . . 4  |-  V  e. 
_V
76elpw2 4611 . . 3  |-  ( U  e.  ~P V  <->  U  C_  V
)
87biimpri 206 . 2  |-  ( U 
C_  V  ->  U  e.  ~P V )
9 ffvelrn 6017 . 2  |-  ( ( N : ~P V --> S  /\  U  e.  ~P V )  ->  ( N `  U )  e.  S )
104, 8, 9syl2an 477 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   -->wf 5582   ` cfv 5586   Basecbs 14483   LModclmod 17292   LSubSpclss 17358   LSpanclspn 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398
This theorem is referenced by:  lspsncl  17403  lspprcl  17404  lsptpcl  17405  lspssv  17409  lspidm  17412  lspsnvsi  17430  lsp0  17435  lspun0  17437  lsslsp  17441  lmhmlsp  17475  lsmsp  17512  lsmsp2  17513  lspvadd  17522  lspsolvlem  17568  lspsolv  17569  lsppratlem2  17574  lsppratlem3  17575  islbs2  17580  islbs3  17581  lbsextlem2  17585  rspcl  17649  obselocv  18523  frlmsslsp  18593  frlmsslspOLD  18594  islinds3  18633  islssfgi  30622  lmhmfgsplit  30636  islshpsm  33777  lssats  33809  dvh4dimlem  36240
  Copyright terms: Public domain W3C validator