MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspcl Structured version   Unicode version

Theorem lspcl 17817
Description: The span of a set of vectors is a subspace. (spancl 26452 analog.) (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  e.  S )

Proof of Theorem lspcl
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
41, 2, 3lspf 17815 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )
5 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
61, 5eqeltri 2538 . . . 4  |-  V  e. 
_V
76elpw2 4601 . . 3  |-  ( U  e.  ~P V  <->  U  C_  V
)
87biimpri 206 . 2  |-  ( U 
C_  V  ->  U  e.  ~P V )
9 ffvelrn 6005 . 2  |-  ( ( N : ~P V --> S  /\  U  e.  ~P V )  ->  ( N `  U )  e.  S )
104, 8, 9syl2an 475 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   -->wf 5566   ` cfv 5570   Basecbs 14716   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773   LSpanclspn 17812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813
This theorem is referenced by:  lspsncl  17818  lspprcl  17819  lsptpcl  17820  lspssv  17824  lspidm  17827  lspsnvsi  17845  lsp0  17850  lspun0  17852  lsslsp  17856  lmhmlsp  17890  lsmsp  17927  lsmsp2  17928  lspvadd  17937  lspsolvlem  17983  lspsolv  17984  lsppratlem2  17989  lsppratlem3  17990  islbs2  17995  islbs3  17996  lbsextlem2  18000  rspcl  18065  obselocv  18932  frlmsslsp  18998  islinds3  19036  islssfgi  31257  lmhmfgsplit  31271  islshpsm  35102  lssats  35134  dvh4dimlem  37567
  Copyright terms: Public domain W3C validator