MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs3 Structured version   Unicode version

Theorem lspabs3 18087
Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspabs2.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspabs2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspabs2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspabs2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspabs2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspabs3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspabs3.xy  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =/=  .0.  )
lspabs3.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspabs3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem lspabs3
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 lspabs2.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspabs2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 18072 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lspabs2.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 lspabs2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
87, 1, 2lspsncl 17943 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
95, 6, 8syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
10 lspabs3.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
117, 1, 2lspsncl 17943 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
125, 10, 11syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
13 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
141, 13lsmcl 18049 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  W
) )
155, 9, 12, 14syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  W )
)
167, 2lspsnsubg 17946 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
175, 6, 16syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lspabs3.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
1918, 17eqeltrrd 2491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
207, 2lspsnid 17959 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
215, 6, 20syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
227, 2lspsnid 17959 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( N `  { Y } ) )
235, 10, 22syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { Y }
) )
24 lspabs2.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2524, 13lsmelvali 16994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( X  e.  ( N `  { X } )  /\  Y  e.  ( N `  { Y } ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
2617, 19, 21, 23, 25syl22anc 1231 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
271, 2, 5, 15, 26lspsnel5a 17962 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) ) )
2818oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) ) )
2913lsmidm 17006 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  ->  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { X }
) )  =  ( N `  { X } ) )
3017, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3128, 30eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3227, 31sseqtrd 3478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  ( N `  { X } ) )
33 lspabs2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
347, 24lmodvacl 17846 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
355, 6, 10, 34syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
36 lspabs3.xy . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =/=  .0.  )
37 eldifsn 4097 . . . . 5  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( X  .+  Y )  e.  V  /\  ( X 
.+  Y )  =/= 
.0.  ) )
3835, 36, 37sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
397, 33, 2, 3, 38, 6lspsncmp 18082 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) 
C_  ( N `  { X } )  <->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( N `  { X } ) ) )
4032, 39mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  =  ( N `  { X } ) )
4140eqcomd 2410 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3411    C_ wss 3414   {csn 3972   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054  SubGrpcsubg 16519   LSSumclsm 16978   LModclmod 17832   LSubSpclss 17898   LSpanclspn 17937   LVecclvec 18068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-lsm 16980  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-drng 17718  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-lvec 18069
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator