MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs3 Structured version   Unicode version

Theorem lspabs3 17545
Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspabs2.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspabs2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspabs2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspabs2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspabs2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspabs3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspabs3.xy  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =/=  .0.  )
lspabs3.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspabs3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem lspabs3
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 lspabs2.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspabs2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 17530 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lspabs2.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 lspabs2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
87, 1, 2lspsncl 17401 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
95, 6, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
10 lspabs3.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
117, 1, 2lspsncl 17401 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
125, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
13 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
141, 13lsmcl 17507 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  W
) )
155, 9, 12, 14syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  W )
)
167, 2lspsnsubg 17404 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
175, 6, 16syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lspabs3.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
1918, 17eqeltrrd 2551 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
207, 2lspsnid 17417 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
215, 6, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
227, 2lspsnid 17417 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( N `  { Y } ) )
235, 10, 22syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { Y }
) )
24 lspabs2.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2524, 13lsmelvali 16461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( X  e.  ( N `  { X } )  /\  Y  e.  ( N `  { Y } ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
2617, 19, 21, 23, 25syl22anc 1224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
271, 2, 5, 15, 26lspsnel5a 17420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) ) )
2818oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) ) )
2913lsmidm 16473 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  ->  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { X }
) )  =  ( N `  { X } ) )
3017, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3128, 30eqtr3d 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3227, 31sseqtrd 3535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  C_  ( N `  { X } ) )
33 lspabs2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
347, 24lmodvacl 17304 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
355, 6, 10, 34syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
36 lspabs3.xy . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =/=  .0.  )
37 eldifsn 4147 . . . . 5  |-  ( ( X  .+  Y )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( X  .+  Y )  e.  V  /\  ( X 
.+  Y )  =/= 
.0.  ) )
3835, 36, 37sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
397, 33, 2, 3, 38, 6lspsncmp 17540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) 
C_  ( N `  { X } )  <->  ( N `  { ( X  .+  Y ) } )  =  ( N `  { X } ) ) )
4032, 39mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .+  Y
) } )  =  ( N `  { X } ) )
4140eqcomd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4022   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   0gc0g 14686  SubGrpcsubg 15985   LSSumclsm 16445   LModclmod 17290   LSubSpclss 17356   LSpanclspn 17395   LVecclvec 17526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-lsm 16447  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-drng 17176  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-lvec 17527
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator