Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs3 Structured version   Unicode version

Theorem lspabs3 18087
 Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v
lspabs2.p
lspabs2.o
lspabs2.n
lspabs2.w
lspabs2.x
lspabs3.y
lspabs3.xy
lspabs3.e
Assertion
Ref Expression
lspabs3

Proof of Theorem lspabs3
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5
2 lspabs2.n . . . . 5
3 lspabs2.w . . . . . 6
4 lveclmod 18072 . . . . . 6
53, 4syl 17 . . . . 5
6 lspabs2.x . . . . . . 7
7 lspabs2.v . . . . . . . 8
87, 1, 2lspsncl 17943 . . . . . . 7
95, 6, 8syl2anc 659 . . . . . 6
10 lspabs3.y . . . . . . 7
117, 1, 2lspsncl 17943 . . . . . . 7
125, 10, 11syl2anc 659 . . . . . 6
13 eqid 2402 . . . . . . 7
141, 13lsmcl 18049 . . . . . 6
155, 9, 12, 14syl3anc 1230 . . . . 5
167, 2lspsnsubg 17946 . . . . . . 7 SubGrp
175, 6, 16syl2anc 659 . . . . . 6 SubGrp
18 lspabs3.e . . . . . . 7
1918, 17eqeltrrd 2491 . . . . . 6 SubGrp
207, 2lspsnid 17959 . . . . . . 7
215, 6, 20syl2anc 659 . . . . . 6
227, 2lspsnid 17959 . . . . . . 7
235, 10, 22syl2anc 659 . . . . . 6
24 lspabs2.p . . . . . . 7
2524, 13lsmelvali 16994 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
2617, 19, 21, 23, 25syl22anc 1231 . . . . 5
271, 2, 5, 15, 26lspsnel5a 17962 . . . 4
2818oveq2d 6294 . . . . 5
2913lsmidm 17006 . . . . . 6 SubGrp
3017, 29syl 17 . . . . 5
3128, 30eqtr3d 2445 . . . 4
3227, 31sseqtrd 3478 . . 3
33 lspabs2.o . . . 4
347, 24lmodvacl 17846 . . . . . 6
355, 6, 10, 34syl3anc 1230 . . . . 5
36 lspabs3.xy . . . . 5
37 eldifsn 4097 . . . . 5
3835, 36, 37sylanbrc 662 . . . 4
397, 33, 2, 3, 38, 6lspsncmp 18082 . . 3
4032, 39mpbid 210 . 2
4140eqcomd 2410 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598   cdif 3411   wss 3414  csn 3972  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   cplusg 14909  c0g 15054  SubGrpcsubg 16519  clsm 16978  clmod 17832  clss 17898  clspn 17937  clvec 18068 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-lsm 16980  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-drng 17718  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-lvec 18069 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator