MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmub1x Structured version   Unicode version

Theorem lsmub1x 16472
Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v  |-  B  =  ( Base `  G
)
lsmless2.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmub1x  |-  ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )

Proof of Theorem lsmub1x
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 15796 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
21ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  G  e.  Mnd )
3 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  T  C_  B )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  T )
53, 4sseldd 3505 . . . . 5  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  B )
6 lsmless2.v . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
96, 7, 8mndrid 15759 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
102, 5, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
116submss 15800 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubMnd `  G
)  ->  U  C_  B
)
1211ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  U  C_  B )
138subm0cl 15802 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  U
)
1413ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( 0g `  G
)  e.  U )
15 lsmless2.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
166, 7, 15lsmelvalix 16467 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  /\  ( x  e.  T  /\  ( 0g `  G
)  e.  U ) )  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  e.  ( T  .(+)  U )
)
172, 3, 12, 4, 14, 16syl32anc 1236 . . . 4  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
1810, 17eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ( T 
.(+)  U ) )
1918ex 434 . 2  |-  ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  (
x  e.  T  ->  x  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
2019ssrdv 3510 1  |-  ( ( T  C_  B  /\  U  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695   Mndcmnd 15726  SubMndcsubmnd 15785   LSSumclsm 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-lsm 16462
This theorem is referenced by:  lsmsubm  16479  lsmub1  16482
  Copyright terms: Public domain W3C validator