Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubm Structured version   Unicode version

Theorem lsmsubm 16997
 Description: The sum of two commuting submonoids is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p
lsmsubg.z Cntz
Assertion
Ref Expression
lsmsubm SubMnd SubMnd SubMnd

Proof of Theorem lsmsubm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 16301 . . . 4 SubMnd
213ad2ant1 1018 . . 3 SubMnd SubMnd
3 eqid 2402 . . . . 5
43submss 16305 . . . 4 SubMnd
543ad2ant1 1018 . . 3 SubMnd SubMnd
63submss 16305 . . . 4 SubMnd
763ad2ant2 1019 . . 3 SubMnd SubMnd
8 lsmsubg.p . . . 4
93, 8lsmssv 16987 . . 3
102, 5, 7, 9syl3anc 1230 . 2 SubMnd SubMnd
11 simp2 998 . . . 4 SubMnd SubMnd SubMnd
123, 8lsmub1x 16990 . . . 4 SubMnd
135, 11, 12syl2anc 659 . . 3 SubMnd SubMnd
14 eqid 2402 . . . . 5
1514subm0cl 16307 . . . 4 SubMnd
16153ad2ant1 1018 . . 3 SubMnd SubMnd
1713, 16sseldd 3443 . 2 SubMnd SubMnd
18 eqid 2402 . . . . . . 7
193, 18, 8lsmelvalx 16984 . . . . . 6
202, 5, 7, 19syl3anc 1230 . . . . 5 SubMnd SubMnd
213, 18, 8lsmelvalx 16984 . . . . . 6
222, 5, 7, 21syl3anc 1230 . . . . 5 SubMnd SubMnd
2320, 22anbi12d 709 . . . 4 SubMnd SubMnd
24 reeanv 2975 . . . . 5
25 reeanv 2975 . . . . . . 7
262adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
275adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
28 simprll 764 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
2927, 28sseldd 3443 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
30 simprlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
3127, 30sseldd 3443 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
327adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
33 simprrl 766 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
3432, 33sseldd 3443 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
35 simprrr 767 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
3632, 35sseldd 3443 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
37 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . 14 SubMnd SubMnd
3837, 30sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd
39 lsmsubg.z . . . . . . . . . . . . . 14 Cntz
4018, 39cntzi 16691 . . . . . . . . . . . . 13
4138, 33, 40syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
423, 18, 26, 29, 31, 34, 36, 41mnd4g 16261 . . . . . . . . . . 11 SubMnd SubMnd
43 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd SubMnd
4418submcl 16308 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd
4543, 28, 30, 44syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
46 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd SubMnd SubMnd
4718submcl 16308 . . . . . . . . . . . . 13 SubMnd
4846, 33, 35, 47syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12 SubMnd SubMnd
493, 18, 8lsmelvalix 16985 . . . . . . . . . . . 12
5026, 27, 32, 45, 48, 49syl32anc 1238 . . . . . . . . . . 11 SubMnd SubMnd
5142, 50eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . 10 SubMnd SubMnd
52 oveq12 6287 . . . . . . . . . . 11
5352eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10
5451, 53syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9 SubMnd SubMnd
5554anassrs 646 . . . . . . . 8 SubMnd SubMnd
5655rexlimdvva 2903 . . . . . . 7 SubMnd SubMnd
5725, 56syl5bir 218 . . . . . 6 SubMnd SubMnd
5857rexlimdvva 2903 . . . . 5 SubMnd SubMnd
5924, 58syl5bir 218 . . . 4 SubMnd SubMnd
6023, 59sylbid 215 . . 3 SubMnd SubMnd
6160ralrimivv 2824 . 2 SubMnd SubMnd
623, 14, 18issubm 16302 . . 3 SubMnd
632, 62syl 17 . 2 SubMnd SubMnd SubMnd
6410, 17, 61, 63mpbir3and 1180 1 SubMnd SubMnd SubMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  wrex 2755   wss 3414  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   cplusg 14909  c0g 15054  cmnd 16243  SubMndcsubmnd 16289  Cntzccntz 16677  clsm 16978 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-cntz 16679  df-lsm 16980 This theorem is referenced by:  lsmsubg  16998
 Copyright terms: Public domain W3C validator