MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubm Structured version   Unicode version

Theorem lsmsubm 16143
Description: The sum of two commuting submonoids is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmsubg.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmsubm  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )

Proof of Theorem lsmsubm
Dummy variables  a 
b  c  d  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 15465 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
213ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  G  e.  Mnd )
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
43submss 15469 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubMnd `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
543ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
63submss 15469 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubMnd `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
763ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
8 lsmsubg.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
93, 8lsmssv 16133 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G ) )
102, 5, 7, 9syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G ) )
11 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
123, 8lsmub1x 16136 . . . 4  |-  ( ( T  C_  ( Base `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )
135, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( T  .(+)  U ) )
14 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
1514subm0cl 15471 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  T
)
16153ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  T
)
1713, 16sseldd 3352 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T  .(+)  U )
)
18 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
193, 18, 8lsmelvalx 16130 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) c ) ) )
202, 5, 7, 19syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) c ) ) )
213, 18, 8lsmelvalx 16130 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( y  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) ) )
222, 5, 7, 21syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( y  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) ) )
2320, 22anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( x  e.  ( T  .(+)  U )  /\  y  e.  ( T  .(+)  U ) )  <->  ( E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) ) ) )
24 reeanv 2883 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  T  E. b  e.  T  ( E. c  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) )  <->  ( E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) ) )
25 reeanv 2883 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  U  E. d  e.  U  (
x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  <->  ( E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) ) )
262adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  G  e.  Mnd )
275adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
28 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  a  e.  T )
2927, 28sseldd 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  a  e.  ( Base `  G
) )
30 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  b  e.  T )
3127, 30sseldd 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  b  e.  ( Base `  G
) )
327adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
33 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  c  e.  U )
3432, 33sseldd 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  c  e.  ( Base `  G
) )
35 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  d  e.  U )
3632, 35sseldd 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  d  e.  ( Base `  G
) )
37 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  T  C_  ( Z `  U
) )
3837, 30sseldd 3352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  b  e.  ( Z `  U
) )
39 lsmsubg.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  (Cntz `  G )
4018, 39cntzi 15838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Z `
 U )  /\  c  e.  U )  ->  ( b ( +g  `  G ) c )  =  ( c ( +g  `  G ) b ) )
4138, 33, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
b ( +g  `  G
) c )  =  ( c ( +g  `  G ) b ) )
423, 18, 26, 29, 31, 34, 36, 41mnd4g 15418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G
) ( c ( +g  `  G ) d ) )  =  ( ( a ( +g  `  G ) c ) ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) d ) ) )
43 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  T  e.  (SubMnd `  G )
)
4418submcl 15472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  a  e.  T  /\  b  e.  T )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  T )
4543, 28, 30, 44syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  T )
46 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G )
)
4718submcl 15472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (SubMnd `  G )  /\  c  e.  U  /\  d  e.  U )  ->  (
c ( +g  `  G
) d )  e.  U )
4846, 33, 35, 47syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
c ( +g  `  G
) d )  e.  U )
493, 18, 8lsmelvalix 16131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G )  /\  U  C_  ( Base `  G
) )  /\  (
( a ( +g  `  G ) b )  e.  T  /\  (
c ( +g  `  G
) d )  e.  U ) )  -> 
( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) ( c ( +g  `  G
) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
5026, 27, 32, 45, 48, 49syl32anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G
) ( c ( +g  `  G ) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
5142, 50eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( a ( +g  `  G ) c ) ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
52 oveq12 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( ( a ( +g  `  G
) c ) ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G ) d ) ) )
5352eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( ( a ( +g  `  G ) c ) ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) d ) )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
5451, 53syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( ( a  e.  T  /\  b  e.  T )  /\  (
c  e.  U  /\  d  e.  U )
) )  ->  (
( x  =  ( a ( +g  `  G
) c )  /\  y  =  ( b
( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
5554anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `  U
) )  /\  (
a  e.  T  /\  b  e.  T )
)  /\  ( c  e.  U  /\  d  e.  U ) )  -> 
( ( x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
5655rexlimdvva 2843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  T ) )  -> 
( E. c  e.  U  E. d  e.  U  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
5725, 56syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  T ) )  -> 
( ( E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G
) d ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
5857rexlimdvva 2843 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( E. a  e.  T  E. b  e.  T  ( E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
5924, 58syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( E. a  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) c )  /\  E. b  e.  T  E. d  e.  U  y  =  ( b ( +g  `  G ) d ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
6023, 59sylbid 215 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( x  e.  ( T  .(+)  U )  /\  y  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U )
) )
6160ralrimivv 2802 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  A. x  e.  ( T  .(+)  U ) A. y  e.  ( T  .(+)  U ) ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( T  .(+)  U ) )
623, 14, 18issubm 15466 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( ( T 
.(+)  U )  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  ( T  .(+)  U )  /\  A. x  e.  ( T  .(+)  U ) A. y  e.  ( T  .(+)  U )
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
632, 62syl 16 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  ( T 
.(+)  U )  /\  A. x  e.  ( T  .(+) 
U ) A. y  e.  ( T  .(+)  U ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
6410, 17, 61, 63mpbir3and 1171 1  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Mndcmnd 15401  SubMndcsubmnd 15455  Cntzccntz 15824   LSSumclsm 16124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-cntz 15826  df-lsm 16126
This theorem is referenced by:  lsmsubg  16144
  Copyright terms: Public domain W3C validator