MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg2 Structured version   Unicode version

Theorem lsmsubg2 16843
Description: The sum of two subgroups is a subgroup. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmcom.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmsubg2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G
) )

Proof of Theorem lsmsubg2
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
2 simp3 999 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
3 eqid 2443 . . 3  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
4 simp1 997 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  G  e.  Abel )
53, 4, 1, 2ablcntzd 16841 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  T  C_  ( (Cntz `  G ) `  U
) )
6 lsmcom.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
76, 3lsmsubg 16652 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( (Cntz `  G ) `  U
) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G )
)
81, 2, 5, 7syl3anc 1229 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281  SubGrpcsubg 16173  Cntzccntz 16331   LSSumclsm 16632   Abelcabl 16777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-subg 16176  df-cntz 16333  df-lsm 16634  df-cmn 16778  df-abl 16779
This theorem is referenced by:  lsm4  16844  ablfacrp  17095  pgpfac1lem1  17103  pgpfac1lem2  17104  pgpfac1lem3a  17105  pgpfac1lem3  17106  lsmcl  17707
  Copyright terms: Public domain W3C validator