MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg Structured version   Unicode version

Theorem lsmsubg 16801
Description: The sum of two commuting subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmsubg.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmsubg  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem lsmsubg
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgsubm 16350 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
4 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
5 subgsubm 16350 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
7 simp3 998 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U )
)
8 lsmsubg.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
9 lsmsubg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
108, 9lsmsubm 16800 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
113, 6, 7, 10syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
12 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
1312, 8lsmelval 16796 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
14133adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
151adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
16 subgrcl 16333 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  G  e.  Grp )
18 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1918subgss 16329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
21 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  T )
2220, 21sseldd 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  ( Base `  G ) )
234adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
2418subgss 16329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
26 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  U )
2725, 26sseldd 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  ( Base `  G ) )
28 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
2918, 12, 28grpinvadd 16243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  ( Base `  G )  /\  b  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( invg `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  a
) ) )
3017, 22, 27, 29syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  a
) ) )
317adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
3228subginvcl 16337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  a  e.  T )  ->  (
( invg `  G ) `  a
)  e.  T )
3315, 21, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  a
)  e.  T )
3431, 33sseldd 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U ) )
3528subginvcl 16337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  b  e.  U )  ->  (
( invg `  G ) `  b
)  e.  U )
3623, 26, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  b
)  e.  U )
3712, 9cntzi 16494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U )  /\  ( ( invg `  G ) `  b
)  e.  U )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 a ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 a ) ) )
3930, 38eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  b
) ) )
4012, 8lsmelvali 16797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  a
)  e.  T  /\  ( ( invg `  G ) `  b
)  e.  U ) )  ->  ( (
( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
4115, 23, 33, 36, 40syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  b
) )  e.  ( T  .(+)  U )
)
4239, 41eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
43 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( invg `  G ) `  x
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
4443eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U )  <->  ( ( invg `  G ) `
 ( a ( +g  `  G ) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4542, 44syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( a ( +g  `  G
) b )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) )
4645rexlimdvva 2956 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4714, 46sylbid 215 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4847ralrimiv 2869 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) )
491, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  G  e.  Grp )
5028issubg3 16346 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+) 
U ) ( ( invg `  G
) `  x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
5149, 50syl 16 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) ) )
5211, 48, 51mpbir2and 922 1  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712  SubMndcsubmnd 16092   Grpcgrp 16180   invgcminusg 16181  SubGrpcsubg 16322  Cntzccntz 16480   LSSumclsm 16781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783
This theorem is referenced by:  pj1ghm  16848  lsmsubg2  16992  dprd2da  17218  dmdprdsplit2lem  17221  dprdsplit  17224
  Copyright terms: Public domain W3C validator