Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg Structured version   Unicode version

Theorem lsmsubg 16801
 Description: The sum of two commuting subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p
lsmsubg.z Cntz
Assertion
Ref Expression
lsmsubg SubGrp SubGrp SubGrp

Proof of Theorem lsmsubg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
2 subgsubm 16350 . . . 4 SubGrp SubMnd
31, 2syl 16 . . 3 SubGrp SubGrp SubMnd
4 simp2 997 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
5 subgsubm 16350 . . . 4 SubGrp SubMnd
64, 5syl 16 . . 3 SubGrp SubGrp SubMnd
7 simp3 998 . . 3 SubGrp SubGrp
8 lsmsubg.p . . . 4
9 lsmsubg.z . . . 4 Cntz
108, 9lsmsubm 16800 . . 3 SubMnd SubMnd SubMnd
113, 6, 7, 10syl3anc 1228 . 2 SubGrp SubGrp SubMnd
12 eqid 2457 . . . . . 6
1312, 8lsmelval 16796 . . . . 5 SubGrp SubGrp
14133adant3 1016 . . . 4 SubGrp SubGrp
151adantr 465 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
16 subgrcl 16333 . . . . . . . . . 10 SubGrp
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
18 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
1918subgss 16329 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
21 simprl 756 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
2220, 21sseldd 3500 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
234adantr 465 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp
2418subgss 16329 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
26 simprr 757 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
2725, 26sseldd 3500 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
28 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
2918, 12, 28grpinvadd 16243 . . . . . . . . 9
3017, 22, 27, 29syl3anc 1228 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
317adantr 465 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
3228subginvcl 16337 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
3315, 21, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
3431, 33sseldd 3500 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
3528subginvcl 16337 . . . . . . . . . 10 SubGrp
3623, 26, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
3712, 9cntzi 16494 . . . . . . . . 9
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
3930, 38eqtr4d 2501 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
4012, 8lsmelvali 16797 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
4115, 23, 33, 36, 40syl22anc 1229 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
4239, 41eqeltrd 2545 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
43 fveq2 5872 . . . . . . 7
4443eleq1d 2526 . . . . . 6
4542, 44syl5ibrcom 222 . . . . 5 SubGrp SubGrp
4645rexlimdvva 2956 . . . 4 SubGrp SubGrp
4714, 46sylbid 215 . . 3 SubGrp SubGrp
4847ralrimiv 2869 . 2 SubGrp SubGrp
491, 16syl 16 . . 3 SubGrp SubGrp
5028issubg3 16346 . . 3 SubGrp SubMnd
5149, 50syl 16 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp SubMnd
5211, 48, 51mpbir2and 922 1 SubGrp SubGrp SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808   wss 3471  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644   cplusg 14712  SubMndcsubmnd 16092  cgrp 16180  cminusg 16181  SubGrpcsubg 16322  Cntzccntz 16480  clsm 16781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783 This theorem is referenced by:  pj1ghm  16848  lsmsubg2  16992  dprd2da  17218  dmdprdsplit2lem  17221  dprdsplit  17224
 Copyright terms: Public domain W3C validator