MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg Structured version   Unicode version

Theorem lsmsubg 16165
Description: The sum of two commuting subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmsubg.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmsubg  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem lsmsubg
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgsubm 15715 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
4 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
5 subgsubm 15715 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
7 simp3 990 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U )
)
8 lsmsubg.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
9 lsmsubg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
108, 9lsmsubm 16164 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
113, 6, 7, 10syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
1312, 8lsmelval 16160 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
14133adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
151adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
16 subgrcl 15698 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  G  e.  Grp )
18 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1918subgss 15694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
21 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  T )
2220, 21sseldd 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  ( Base `  G ) )
234adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
2418subgss 15694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
26 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  U )
2725, 26sseldd 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  ( Base `  G ) )
28 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
2918, 12, 28grpinvadd 15616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  ( Base `  G )  /\  b  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( invg `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  a
) ) )
3017, 22, 27, 29syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  a
) ) )
317adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
3228subginvcl 15702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  a  e.  T )  ->  (
( invg `  G ) `  a
)  e.  T )
3315, 21, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  a
)  e.  T )
3431, 33sseldd 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U ) )
3528subginvcl 15702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  b  e.  U )  ->  (
( invg `  G ) `  b
)  e.  U )
3623, 26, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  b
)  e.  U )
3712, 9cntzi 15859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U )  /\  ( ( invg `  G ) `  b
)  e.  U )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 a ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 a ) ) )
3930, 38eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  b
) ) )
4012, 8lsmelvali 16161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  a
)  e.  T  /\  ( ( invg `  G ) `  b
)  e.  U ) )  ->  ( (
( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
4115, 23, 33, 36, 40syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  b
) )  e.  ( T  .(+)  U )
)
4239, 41eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
43 fveq2 5703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( invg `  G ) `  x
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
4443eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U )  <->  ( ( invg `  G ) `
 ( a ( +g  `  G ) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4542, 44syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( a ( +g  `  G
) b )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) )
4645rexlimdvva 2860 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4714, 46sylbid 215 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4847ralrimiv 2810 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) )
491, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  G  e.  Grp )
5028issubg3 15711 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+) 
U ) ( ( invg `  G
) `  x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
5149, 50syl 16 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) ) )
5211, 48, 51mpbir2and 913 1  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728    C_ wss 3340   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   Grpcgrp 15422   invgcminusg 15423  SubMndcsubmnd 15475  SubGrpcsubg 15687  Cntzccntz 15845   LSSumclsm 16145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-lsm 16147
This theorem is referenced by:  pj1ghm  16212  lsmsubg2  16353  dprd2da  16553  dmdprdsplit2lem  16556  dprdsplit  16559
  Copyright terms: Public domain W3C validator