MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssspx Structured version   Unicode version

Theorem lsmssspx 17847
Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmsp2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmsp2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmssspx.t  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
lsmssspx.u  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
lsmssspx.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
Assertion
Ref Expression
lsmssspx  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )

Proof of Theorem lsmssspx
StepHypRef Expression
1 lsmssspx.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmssspx.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
3 lsmsp2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lsmsp2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
53, 4lspssv 17742 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  ( N `  T )  C_  V )
61, 2, 5syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  T
)  C_  V )
7 lsmssspx.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
83, 4lspssid 17744 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
91, 2, 8syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  T ) )
10 lsmsp2.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
113, 10lsmless1x 16781 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  T
)  C_  V  /\  U  C_  V )  /\  T  C_  ( N `  T ) )  -> 
( T  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  U ) )
121, 6, 7, 9, 11syl31anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  U ) )
133, 4lspssv 17742 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  C_  V )
141, 7, 13syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  V )
153, 4lspssid 17744 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
161, 7, 15syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  U ) )
173, 10lsmless2x 16782 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  T
)  C_  V  /\  ( N `  U ) 
C_  V )  /\  U  C_  ( N `  U ) )  -> 
( ( N `  T )  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  ( N `  U ) ) )
181, 6, 14, 16, 17syl31anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  T )  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  ( N `  U ) ) )
1912, 18sstrd 3427 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  ( N `  U ) ) )
203, 4, 10lsmsp2 17846 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  .(+)  ( N `  U ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
211, 2, 7, 20syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  T )  .(+)  ( N `
 U ) )  =  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
2219, 21sseqtrd 3453 1  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826    u. cun 3387    C_ wss 3389   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   LSSumclsm 16771   LModclmod 17625   LSpanclspn 17730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-lsm 16773  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731
This theorem is referenced by:  djhsumss  37547
  Copyright terms: Public domain W3C validator