MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssspx Structured version   Unicode version

Theorem lsmssspx 17291
Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmsp2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmsp2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmssspx.t  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
lsmssspx.u  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
lsmssspx.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
Assertion
Ref Expression
lsmssspx  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )

Proof of Theorem lsmssspx
StepHypRef Expression
1 lsmssspx.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmssspx.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
3 lsmsp2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lsmsp2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
53, 4lspssv 17186 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  ( N `  T )  C_  V )
61, 2, 5syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  T
)  C_  V )
7 lsmssspx.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
83, 4lspssid 17188 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
91, 2, 8syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  T ) )
10 lsmsp2.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
113, 10lsmless1x 16263 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  T
)  C_  V  /\  U  C_  V )  /\  T  C_  ( N `  T ) )  -> 
( T  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  U ) )
121, 6, 7, 9, 11syl31anc 1222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  U ) )
133, 4lspssv 17186 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  C_  V )
141, 7, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  V )
153, 4lspssid 17188 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
161, 7, 15syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  U ) )
173, 10lsmless2x 16264 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  T
)  C_  V  /\  ( N `  U ) 
C_  V )  /\  U  C_  ( N `  U ) )  -> 
( ( N `  T )  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  ( N `  U ) ) )
181, 6, 14, 16, 17syl31anc 1222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  T )  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  ( N `  U ) ) )
1912, 18sstrd 3473 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  ( N `  U ) ) )
203, 4, 10lsmsp2 17290 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  .(+)  ( N `  U ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
211, 2, 7, 20syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  T )  .(+)  ( N `
 U ) )  =  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
2219, 21sseqtrd 3499 1  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3433    C_ wss 3435   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Basecbs 14291   LSSumclsm 16253   LModclmod 17070   LSpanclspn 17174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-subg 15796  df-cntz 15953  df-lsm 16255  df-cmn 16399  df-abl 16400  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-lmod 17072  df-lss 17136  df-lsp 17175
This theorem is referenced by:  djhsumss  35375
  Copyright terms: Public domain W3C validator