MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsp Structured version   Unicode version

Theorem lsmsp 17300
Description: Subspace sum in terms of span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmsp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmsp.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
Assertion
Ref Expression
lsmsp  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )

Proof of Theorem lsmsp
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lsmsp.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssss 17151 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  S  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
543ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
62, 3lssss 17151 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
763ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
85, 7unssd 3643 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( Base `  W
) )
9 lsmsp.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
102, 9lspssid 17199 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  ( Base `  W
) )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
111, 8, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
1211unssad 3644 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  T  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
1311unssbd 3645 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
143lsssssubg 17172 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
15143ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  S  C_  (SubGrp `  W )
)
16 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  T  e.  S )
1715, 16sseldd 3468 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
18 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  S )
1915, 18sseldd 3468 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
202, 3, 9lspcl 17190 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  ( Base `  W
) )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  e.  S )
211, 8, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  e.  S )
2215, 21sseldd 3468 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  e.  (SubGrp `  W )
)
23 lsmsp.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2423lsmlub 16287 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  ( T  u.  U )
)  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( ( T  C_  ( N `  ( T  u.  U ) )  /\  U  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )  <-> 
( T  .(+)  U ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) ) )
2517, 19, 22, 24syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  (
( T  C_  ( N `  ( T  u.  U ) )  /\  U  C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  <->  ( T  .(+) 
U )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) ) )
2612, 13, 25mpbi2and 912 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )
273, 23lsmcl 17297 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  S )
2823lsmunss 16282 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( T  u.  U )  C_  ( T  .(+)  U ) )
2917, 19, 28syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( T  .(+)  U ) )
303, 9lspssp 17202 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  .(+)  U )  e.  S  /\  ( T  u.  U )  C_  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( N `  ( T  u.  U
) )  C_  ( T  .(+)  U ) )
311, 27, 29, 30syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( T  .(+)  U ) )
3226, 31eqssd 3484 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3437    C_ wss 3439   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296  SubGrpcsubg 15798   LSSumclsm 16258   LModclmod 17081   LSubSpclss 17146   LSpanclspn 17185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186
This theorem is referenced by:  lsmsp2  17301  lsmpr  17303  lsppr  17307  islshpsm  32988  lshpnel2N  32993  lkrlsp3  33112  djhlsmcl  35422  dochsatshp  35459
  Copyright terms: Public domain W3C validator