MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsp Structured version   Unicode version

Theorem lsmsp 17944
Description: Subspace sum in terms of span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmsp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmsp.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
Assertion
Ref Expression
lsmsp  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )

Proof of Theorem lsmsp
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lsmsp.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssss 17795 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  S  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
543ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
62, 3lssss 17795 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
763ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
85, 7unssd 3618 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( Base `  W
) )
9 lsmsp.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
102, 9lspssid 17843 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  ( Base `  W
) )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
111, 8, 10syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
1211unssad 3619 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  T  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
1311unssbd 3620 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( N `  ( T  u.  U )
) )
143lsssssubg 17816 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
15143ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  S  C_  (SubGrp `  W )
)
16 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  T  e.  S )
1715, 16sseldd 3442 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
18 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  S )
1915, 18sseldd 3442 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
202, 3, 9lspcl 17834 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  u.  U )  C_  ( Base `  W
) )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  e.  S )
211, 8, 20syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  e.  S )
2215, 21sseldd 3442 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  e.  (SubGrp `  W )
)
23 lsmsp.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2423lsmlub 16899 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  ( T  u.  U )
)  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( ( T  C_  ( N `  ( T  u.  U ) )  /\  U  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )  <-> 
( T  .(+)  U ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) ) )
2517, 19, 22, 24syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  (
( T  C_  ( N `  ( T  u.  U ) )  /\  U  C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )  <->  ( T  .(+) 
U )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) ) )
2612, 13, 25mpbi2and 922 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( N `  ( T  u.  U ) ) )
273, 23lsmcl 17941 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  S )
2823lsmunss 16894 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( T  u.  U )  C_  ( T  .(+)  U ) )
2917, 19, 28syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  u.  U )  C_  ( T  .(+)  U ) )
303, 9lspssp 17846 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( T  .(+)  U )  e.  S  /\  ( T  u.  U )  C_  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( N `  ( T  u.  U
) )  C_  ( T  .(+)  U ) )
311, 27, 29, 30syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  ( T  u.  U ) )  C_  ( T  .(+)  U ) )
3226, 31eqssd 3458 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S  /\  U  e.  S )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3411    C_ wss 3413   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733  SubGrpcsubg 16411   LSSumclsm 16870   LModclmod 17724   LSubSpclss 17790   LSpanclspn 17829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-subg 16414  df-cntz 16571  df-lsm 16872  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lsp 17830
This theorem is referenced by:  lsmsp2  17945  lsmpr  17947  lsppr  17951  islshpsm  31979  lshpnel2N  31984  lkrlsp3  32103  djhlsmcl  34415  dochsatshp  34452
  Copyright terms: Public domain W3C validator