Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsat Structured version   Unicode version

Theorem lsmsat 32026
 Description: Convert comparison of atom with sum of subspaces to a comparison to sum with atom. (elpaddatiN 32822 analog.) TODO: any way to shorten this? (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsat.o
lsmsat.s
lsmsat.p
lsmsat.a LSAtoms
lsmsat.w
lsmsat.t
lsmsat.u
lsmsat.q
lsmsat.n
lsmsat.l
Assertion
Ref Expression
lsmsat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lsmsat
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsat.q . . 3
2 lsmsat.w . . . 4
3 eqid 2402 . . . . 5
4 eqid 2402 . . . . 5
5 lsmsat.o . . . . 5
6 lsmsat.a . . . . 5 LSAtoms
73, 4, 5, 6islsat 32009 . . . 4
82, 7syl 17 . . 3
91, 8mpbid 210 . 2
10 simp3 999 . . . . . . . . 9
11 lsmsat.l . . . . . . . . . 10
12113ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
1310, 12eqsstr3d 3477 . . . . . . . 8
14 lsmsat.s . . . . . . . . 9
1523ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
16 lsmsat.t . . . . . . . . . . 11
17 lsmsat.u . . . . . . . . . . 11
18 lsmsat.p . . . . . . . . . . . 12
1914, 18lsmcl 18049 . . . . . . . . . . 11
202, 16, 17, 19syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10
21203ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
22 eldifi 3565 . . . . . . . . . 10
23223ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9
243, 14, 4, 15, 21, 23lspsnel5 17961 . . . . . . . 8
2513, 24mpbird 232 . . . . . . 7
2614lsssssubg 17924 . . . . . . . . . 10 SubGrp
2715, 26syl 17 . . . . . . . . 9 SubGrp
28163ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
2927, 28sseldd 3443 . . . . . . . 8 SubGrp
30173ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
3127, 30sseldd 3443 . . . . . . . 8 SubGrp
32 eqid 2402 . . . . . . . . 9
3332, 18lsmelval 16993 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
3429, 31, 33syl2anc 659 . . . . . . 7
3525, 34mpbid 210 . . . . . 6
36 lsmsat.n . . . . . . . . . . . . . . 15
375, 14lssne0 17917 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3816, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
3936, 38mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
4039adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13
41403ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12
4241adantr 463 . . . . . . . . . . 11
432adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44433ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4616adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47463ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 simpr2 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
503, 14lssel 17904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5148, 49, 50syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 simpr3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16
533, 4, 5, 6lsatlspsn2 32010 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5445, 51, 52, 53syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15
5514, 4, 45, 48, 49lspsnel5a 17962 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57 simpr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5857oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5917adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
60593ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
61 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
623, 14lssel 17904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6360, 61, 62syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6463adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
653, 32, 5lmod0vlid 17862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6645, 64, 65syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6756, 58, 663eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6867sneqd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7014, 4, 44, 60, 61lspsnel5a 17962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7269, 71eqsstrd 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
733, 4lspsnsubg 17946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp
7445, 51, 73syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
7545, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp
7660adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7775, 76sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
7818lsmub2 17001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp SubGrp
7974, 77, 78syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8072, 79sstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 sseq1 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
82 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382sseq2d 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8481, 83anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584rspcev 3160 . . . . . . . . . . . . . . 15
8654, 55, 80, 85syl12anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
87863exp2 1215 . . . . . . . . . . . . 13
8887imp 427 . . . . . . . . . . . 12
8988rexlimdv 2894 . . . . . . . . . . 11
9042, 89mpd 15 . . . . . . . . . 10
9144adantr 463 . . . . . . . . . . . 12
92 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . . 14
933, 14lssel 17904 . . . . . . . . . . . . . 14
9447, 92, 93syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13
9594adantr 463 . . . . . . . . . . . 12
96 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12
973, 4, 5, 6lsatlspsn2 32010 . . . . . . . . . . . 12
9891, 95, 96, 97syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11
9914, 4, 44, 47, 92lspsnel5a 17962 . . . . . . . . . . . 12
10099adantr 463 . . . . . . . . . . 11
101 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101sneqd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . 15
1043, 32, 4lspvadd 18062 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10544, 94, 63, 104syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15
106103, 105eqsstrd 3476 . . . . . . . . . . . . . 14
1073, 4, 18, 44, 94, 63lsmpr 18055 . . . . . . . . . . . . . 14
108106, 107sseqtrd 3478 . . . . . . . . . . . . 13
10944, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
1103, 14, 4lspsncl 17943 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11144, 94, 110syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15
112109, 111sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
113109, 60sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
11418lsmless2 17004 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp
115112, 113, 70, 114syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13
116108, 115sstrd 3452 . . . . . . . . . . . 12
117116adantr 463 . . . . . . . . . . 11
118 sseq1 3463 . . . . . . . . . . . . 13
119 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . 14
120119sseq2d 3470 . . . . . . . . . . . . 13
121118, 120anbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12
122121rspcev 3160 . . . . . . . . . . 11
12398, 100, 117, 122syl12anc 1228 . . . . . . . . . 10
12490, 123pm2.61dane 2721 . . . . . . . . 9
1251243exp 1196 . . . . . . . 8
126125rexlimdvv 2902 . . . . . . 7
1271263adant3 1017 . . . . . 6
12835, 127mpd 15 . . . . 5
129 sseq1 3463 . . . . . . . 8
130129anbi2d 702 . . . . . . 7
131130rexbidv 2918 . . . . . 6
1321313ad2ant3 1020 . . . . 5
133128, 132mpbird 232 . . . 4
1341333exp 1196 . . 3
135134rexlimdv 2894 . 2
1369, 135mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wrex 2755   cdif 3411   wss 3414  csn 3972  cpr 3974  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   cplusg 14909  c0g 15054  SubGrpcsubg 16519  clsm 16978  clmod 17832  clss 17898  clspn 17937  LSAtomsclsa 31992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-lsm 16980  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-lsatoms 31994 This theorem is referenced by:  dochexmidlem4  34483
 Copyright terms: Public domain W3C validator