Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmpropd Structured version   Unicode version

Theorem lsmpropd 16484
 Description: If two structures have the same components (properties), they have the same subspace structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmpropd.b1
lsmpropd.b2
lsmpropd.p
lsmpropd.v1
lsmpropd.v2
Assertion
Ref Expression
lsmpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem lsmpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1021 . . . . . . 7
2 simp12 1022 . . . . . . . . 9
32elpwid 4013 . . . . . . . 8
4 simp2 992 . . . . . . . 8
53, 4sseldd 3498 . . . . . . 7
6 simp13 1023 . . . . . . . . 9
76elpwid 4013 . . . . . . . 8
8 simp3 993 . . . . . . . 8
97, 8sseldd 3498 . . . . . . 7
10 lsmpropd.p . . . . . . 7
111, 5, 9, 10syl12anc 1221 . . . . . 6
1211mpt2eq3dva 6336 . . . . 5
1312rneqd 5221 . . . 4
1413mpt2eq3dva 6336 . . 3
15 lsmpropd.b1 . . . . 5
1615pweqd 4008 . . . 4
17 mpt2eq12 6332 . . . 4
1816, 16, 17syl2anc 661 . . 3
19 lsmpropd.b2 . . . . 5
2019pweqd 4008 . . . 4
21 mpt2eq12 6332 . . . 4
2220, 20, 21syl2anc 661 . . 3
2314, 18, 223eqtr3d 2509 . 2
24 lsmpropd.v1 . . 3
25 eqid 2460 . . . 4
26 eqid 2460 . . . 4
27 eqid 2460 . . . 4
2825, 26, 27lsmfval 16447 . . 3
2924, 28syl 16 . 2
30 lsmpropd.v2 . . 3
31 eqid 2460 . . . 4
32 eqid 2460 . . . 4
33 eqid 2460 . . . 4
3431, 32, 33lsmfval 16447 . . 3
3530, 34syl 16 . 2
3623, 29, 353eqtr4d 2511 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762  cvv 3106  cpw 4003   crn 4993  cfv 5579  (class class class)co 6275   cmpt2 6277  cbs 14479   cplusg 14544  clsm 16443 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-lsm 16445 This theorem is referenced by:  hlhillsm  36631
 Copyright terms: Public domain W3C validator