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Theorem lsmmod 17403
 Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p
Assertion
Ref Expression
lsmmod SubGrp SubGrp SubGrp

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1033 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2 simpl2 1034 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3 inss1 3643 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
5 lsmmod.p . . . . 5
65lsmless2 17390 . . . 4 SubGrp SubGrp
71, 2, 4, 6syl3anc 1292 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
8 simpr 468 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
9 inss2 3644 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
11 subgrcl 16900 . . . . . . 7 SubGrp
12 eqid 2471 . . . . . . . 8
1312subgacs 16930 . . . . . . 7 SubGrp ACS
14 acsmre 15636 . . . . . . 7 SubGrp ACS SubGrp Moore
151, 11, 13, 144syl 19 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp Moore
16 simpl3 1035 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
17 mreincl 15583 . . . . . 6 SubGrp Moore SubGrp SubGrp SubGrp
1815, 2, 16, 17syl3anc 1292 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
195lsmlub 17393 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
201, 18, 16, 19syl3anc 1292 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
218, 10, 20mpbi2and 935 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
227, 21ssind 3647 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp
23 elin 3608 . . . 4
24 eqid 2471 . . . . . . . 8
2524, 5lsmelval 17379 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
261, 2, 25syl2anc 673 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp
271adantr 472 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2818adantr 472 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
29 simprll 780 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
30 simprlr 781 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp
3127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp SubGrp
3216adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3312subgss 16896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp SubGrp
358adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp SubGrp SubGrp
3635, 29sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp SubGrp
3734, 36sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp SubGrp
38 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4012, 24, 38, 39grplinv 16790 . . . . . . . . . . . . . . 15
4131, 37, 40syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp SubGrp
4241oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp SubGrp
4339subginvcl 16904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
4432, 36, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp SubGrp
4534, 44sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp SubGrp
46 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
4712subgss 16896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp SubGrp
4948, 30sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp SubGrp
5012, 24grpass 16758 . . . . . . . . . . . . . 14
5131, 45, 37, 49, 50syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp SubGrp
5212, 24, 38grplid 16774 . . . . . . . . . . . . . 14
5331, 49, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp SubGrp
5442, 51, 533eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp SubGrp
55 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp SubGrp
5624subgcl 16905 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
5732, 44, 55, 56syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp SubGrp
5854, 57eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp
5930, 58elind 3609 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
6024, 5lsmelvali 17380 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
6127, 28, 29, 59, 60syl22anc 1293 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp SubGrp
6261expr 626 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp SubGrp
63 eleq1 2537 . . . . . . . . 9
64 eleq1 2537 . . . . . . . . 9
6563, 64imbi12d 327 . . . . . . . 8
6662, 65syl5ibrcom 230 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp
6766rexlimdvva 2878 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp
6826, 67sylbid 223 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
6968impd 438 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
7023, 69syl5bi 225 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
7170ssrdv 3424 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp
7222, 71eqssd 3435 1 SubGrp SubGrp SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757   cin 3389   wss 3390  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416  Moorecmre 15566  ACScacs 15569  cgrp 16747  cminusg 16748  SubGrpcsubg 16889  clsm 17364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-lsm 17366 This theorem is referenced by:  lsmmod2  17404  lcvexchlem2  32672  dihmeetlem9N  34954
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