MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmmod Structured version   Unicode version

Theorem lsmmod 16294
Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmmod  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
2 simpl2 992 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
3 inss1 3679 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  T
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  C_  T )
5 lsmmod.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
65lsmless2 16281 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U
)  C_  T )  ->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( S  .(+)  T ) )
71, 2, 4, 6syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( S  .(+)  T ) )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  S  C_  U )
9 inss2 3680 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  U
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  C_  U )
11 subgrcl 15806 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
12 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1312subgacs 15836 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
14 acsmre 14710 . . . . . . 7  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
151, 11, 13, 144syl 21 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) ) )
16 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
17 mreincl 14657 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  T  e.  (SubGrp `  G
)  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
1815, 2, 16, 17syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  e.  (SubGrp `  G ) )
195lsmlub 16284 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  C_  U  /\  ( T  i^i  U )  C_  U )  <->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  C_  U ) )
201, 18, 16, 19syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( S  C_  U  /\  ( T  i^i  U )  C_  U )  <->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  C_  U ) )
218, 10, 20mpbi2and 912 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  U )
227, 21ssind 3683 . 2  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )
23 elin 3648 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
)  <->  ( x  e.  ( S  .(+)  T )  /\  x  e.  U
) )
24 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2524, 5lsmelval 16270 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  T )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y
( +g  `  G ) z ) ) )
261, 2, 25syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( S  .(+)  T )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
271adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2818adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
29 simprll 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  S
)
30 simprlr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  T
)
3127, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  G  e.  Grp )
3216adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
3312subgss 15802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
358adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  S  C_  U
)
3635, 29sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  U
)
3734, 36sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  (
Base `  G )
)
38 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
39 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
4012, 24, 38, 39grplinv 15704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
4131, 37, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
4241oveq1d 6216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( 0g `  G
) ( +g  `  G
) z ) )
4339subginvcl 15810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  U )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  U )
4432, 36, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  U )
4534, 44sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  ( Base `  G
) )
46 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
4712subgss 15802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
4948, 30sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  (
Base `  G )
)
5012, 24grpass 15672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5131, 45, 37, 49, 50syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5212, 24, 38grplid 15688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5331, 49, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5442, 51, 533eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
55 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U
)
5624subgcl 15811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  U  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  U )
5732, 44, 55, 56syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  U )
5854, 57eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  U
)
5930, 58elind 3649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  ( T  i^i  U ) )
6024, 5lsmelvali 16271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  ( T  i^i  U
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
6127, 28, 29, 59, 60syl22anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
6261expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
63 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  e.  U  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  U
) )
64 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) )  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
6563, 64imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) )  <->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  e.  U  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6662, 65syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  G
) z )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6766rexlimdvva 2954 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y ( +g  `  G
) z )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6826, 67sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( S  .(+)  T )  ->  ( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6968impd 431 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( x  e.  ( S  .(+)  T )  /\  x  e.  U
)  ->  x  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
7023, 69syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  ->  x  e.  ( S  .(+) 
( T  i^i  U
) ) ) )
7170ssrdv 3471 . 2  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( S  .(+)  T )  i^i  U ) 
C_  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
7222, 71eqssd 3482 1  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   0gc0g 14498  Moorecmre 14640  ACScacs 14643   Grpcgrp 15530   invgcminusg 15531  SubGrpcsubg 15795   LSSumclsm 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-subg 15798  df-lsm 16257
This theorem is referenced by:  lsmmod2  16295  lcvexchlem2  33019  dihmeetlem9N  35299
  Copyright terms: Public domain W3C validator