MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmmod Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lsmmod 17403
Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmmod  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1033 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
2 simpl2 1034 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
3 inss1 3643 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  T
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  C_  T )
5 lsmmod.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
65lsmless2 17390 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U
)  C_  T )  ->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( S  .(+)  T ) )
71, 2, 4, 6syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( S  .(+)  T ) )
8 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  S  C_  U )
9 inss2 3644 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  U
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  C_  U )
11 subgrcl 16900 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
12 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1312subgacs 16930 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
14 acsmre 15636 . . . . . . 7  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
151, 11, 13, 144syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) ) )
16 simpl3 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
17 mreincl 15583 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  T  e.  (SubGrp `  G
)  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
1815, 2, 16, 17syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  e.  (SubGrp `  G ) )
195lsmlub 17393 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  C_  U  /\  ( T  i^i  U )  C_  U )  <->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  C_  U ) )
201, 18, 16, 19syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( S  C_  U  /\  ( T  i^i  U )  C_  U )  <->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  C_  U ) )
218, 10, 20mpbi2and 935 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  U )
227, 21ssind 3647 . 2  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )
23 elin 3608 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
)  <->  ( x  e.  ( S  .(+)  T )  /\  x  e.  U
) )
24 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2524, 5lsmelval 17379 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  T )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y
( +g  `  G ) z ) ) )
261, 2, 25syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( S  .(+)  T )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
271adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2818adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
29 simprll 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  S
)
30 simprlr 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  T
)
3127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  G  e.  Grp )
3216adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
3312subgss 16896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
358adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  S  C_  U
)
3635, 29sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  U
)
3734, 36sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  (
Base `  G )
)
38 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
39 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
4012, 24, 38, 39grplinv 16790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
4131, 37, 40syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
4241oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( 0g `  G
) ( +g  `  G
) z ) )
4339subginvcl 16904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  U )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  U )
4432, 36, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  U )
4534, 44sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  ( Base `  G
) )
46 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
4712subgss 16896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
4948, 30sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  (
Base `  G )
)
5012, 24grpass 16758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5131, 45, 37, 49, 50syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5212, 24, 38grplid 16774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5331, 49, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5442, 51, 533eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
55 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U
)
5624subgcl 16905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  U  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  U )
5732, 44, 55, 56syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  U )
5854, 57eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  U
)
5930, 58elind 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  ( T  i^i  U ) )
6024, 5lsmelvali 17380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  ( T  i^i  U
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
6127, 28, 29, 59, 60syl22anc 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
6261expr 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
63 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  e.  U  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  U
) )
64 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) )  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
6563, 64imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) )  <->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  e.  U  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6662, 65syl5ibrcom 230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  G
) z )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6766rexlimdvva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y ( +g  `  G
) z )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6826, 67sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( S  .(+)  T )  ->  ( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6968impd 438 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( x  e.  ( S  .(+)  T )  /\  x  e.  U
)  ->  x  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
7023, 69syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  ->  x  e.  ( S  .(+) 
( T  i^i  U
) ) ) )
7170ssrdv 3424 . 2  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( S  .(+)  T )  i^i  U ) 
C_  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
7222, 71eqssd 3435 1  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416  Moorecmre 15566  ACScacs 15569   Grpcgrp 16747   invgcminusg 16748  SubGrpcsubg 16889   LSSumclsm 17364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-lsm 17366
This theorem is referenced by:  lsmmod2  17404  lcvexchlem2  32672  dihmeetlem9N  34954
  Copyright terms: Public domain W3C validator