MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmidm Structured version   Unicode version

Theorem lsmidm 16274
Description: Subgroup sum is idempotent. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmidm  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( U  .(+) 
U )  =  U )

Proof of Theorem lsmidm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 lsmub1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmval 16260 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( U  .(+) 
U )  =  ran  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
54anidms 645 . . 3  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( U  .(+) 
U )  =  ran  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
62subgcl 15802 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  U )
763expb 1189 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  U
)
87ralrimivva 2907 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  U
)
9 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
109fmpt2 6744 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) : ( U  X.  U
) --> U )
118, 10sylib 196 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) : ( U  X.  U
) --> U )
12 frn 5666 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U , 
y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : ( U  X.  U ) --> U  ->  ran  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  U )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ran  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  U )
145, 13eqsstrd 3491 . 2  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( U  .(+) 
U )  C_  U
)
153lsmub1 16268 . . 3  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  U  C_  ( U  .(+)  U ) )
1615anidms 645 . 2  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( U  .(+)  U ) )
1714, 16eqssd 3474 1  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( U  .(+) 
U )  =  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    C_ wss 3429    X. cxp 4939   ran crn 4942   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195   Basecbs 14285   +g cplusg 14349  SubGrpcsubg 15786   LSSumclsm 16246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-subg 15789  df-lsm 16248
This theorem is referenced by:  lsmlub  16275  lspabs2  17316  lspabs3  17317  lsatcv0eq  33001  lsatcv1  33002  lsatcvat3  33006  dia2dimlem13  35030  dihjatcclem1  35372  dvh3dimatN  35393  dvh2dimatN  35394  mapdindp0  35673  mapdh6dN  35693  hdmap1l6d  35768
  Copyright terms: Public domain W3C validator