MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmidm Structured version   Unicode version

Theorem lsmidm 16881
Description: Subgroup sum is idempotent. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmidm  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( U  .(+) 
U )  =  U )

Proof of Theorem lsmidm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 lsmub1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmval 16867 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( U  .(+) 
U )  =  ran  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
54anidms 643 . . 3  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( U  .(+) 
U )  =  ran  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
62subgcl 16410 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  U )
763expb 1195 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  U
)
87ralrimivva 2875 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  U
)
9 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
109fmpt2 6840 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) : ( U  X.  U
) --> U )
118, 10sylib 196 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) : ( U  X.  U
) --> U )
12 frn 5719 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U , 
y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : ( U  X.  U ) --> U  ->  ran  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  U )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ran  ( x  e.  U ,  y  e.  U  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  U )
145, 13eqsstrd 3523 . 2  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( U  .(+) 
U )  C_  U
)
153lsmub1 16875 . . 3  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  U  C_  ( U  .(+)  U ) )
1615anidms 643 . 2  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( U  .(+)  U ) )
1714, 16eqssd 3506 1  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( U  .(+) 
U )  =  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461    X. cxp 4986   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  SubGrpcsubg 16394   LSSumclsm 16853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-subg 16397  df-lsm 16855
This theorem is referenced by:  lsmlub  16882  lspabs2  17961  lspabs3  17962  lsatcv0eq  35169  lsatcv1  35170  lsatcvat3  35174  dia2dimlem13  37200  dihjatcclem1  37542  dvh3dimatN  37563  dvh2dimatN  37564  mapdindp0  37843  mapdh6dN  37863  hdmap1l6d  37938
  Copyright terms: Public domain W3C validator