Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmhash Structured version   Unicode version

Theorem lsmhash 16596
 Description: The order of the direct product of groups. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmhash.p
lsmhash.o
lsmhash.z Cntz
lsmhash.t SubGrp
lsmhash.u SubGrp
lsmhash.i
lsmhash.s
lsmhash.1
lsmhash.2
Assertion
Ref Expression
lsmhash

Proof of Theorem lsmhash
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6320 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 lsmhash.t . . . . 5 SubGrp
4 lsmhash.u . . . . 5 SubGrp
5 xpexg 6597 . . . . 5 SubGrp SubGrp
63, 4, 5syl2anc 661 . . . 4
7 eqid 2467 . . . . . . . 8
8 lsmhash.p . . . . . . . 8
9 lsmhash.o . . . . . . . 8
10 lsmhash.z . . . . . . . 8 Cntz
11 lsmhash.i . . . . . . . 8
12 lsmhash.s . . . . . . . 8
13 eqid 2467 . . . . . . . 8
147, 8, 9, 10, 3, 4, 11, 12, 13pj1f 16588 . . . . . . 7
1514ffvelrnda 6032 . . . . . 6
167, 8, 9, 10, 3, 4, 11, 12, 13pj2f 16589 . . . . . . 7
1716ffvelrnda 6032 . . . . . 6
18 opelxpi 5037 . . . . . 6
1915, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5
2019ex 434 . . . 4
213, 4jca 532 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
22 xp1st 6825 . . . . . . 7
23 xp2nd 6826 . . . . . . 7
2422, 23jca 532 . . . . . 6
257, 8lsmelvali 16543 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
2621, 24, 25syl2an 477 . . . . 5
2726ex 434 . . . 4
283adantr 465 . . . . . . . 8 SubGrp
294adantr 465 . . . . . . . 8 SubGrp
3011adantr 465 . . . . . . . 8
3112adantr 465 . . . . . . . 8
32 simprl 755 . . . . . . . 8
3322ad2antll 728 . . . . . . . 8
3423ad2antll 728 . . . . . . . 8
357, 8, 9, 10, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34pj1eq 16591 . . . . . . 7
36 eqcom 2476 . . . . . . . 8
37 eqcom 2476 . . . . . . . 8
3836, 37anbi12i 697 . . . . . . 7
3935, 38syl6bb 261 . . . . . 6
40 eqop 6835 . . . . . . 7
4140ad2antll 728 . . . . . 6
4239, 41bitr4d 256 . . . . 5
4342ex 434 . . . 4
442, 6, 20, 27, 43en3d 7564 . . 3
45 hasheni 12401 . . 3
4644, 45syl 16 . 2
47 lsmhash.1 . . 3
48 lsmhash.2 . . 3
49 hashxp 12473 . . 3
5047, 48, 49syl2anc 661 . 2
5146, 50eqtrd 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   cin 3480   wss 3481  csn 4033  cop 4039   class class class wbr 4453   cxp 5003  cfv 5594  (class class class)co 6295  c1st 6793  c2nd 6794   cen 7525  cfn 7528   cmul 9509  chash 12385   cplusg 14572  c0g 14712  SubGrpcsubg 16067  Cntzccntz 16225  clsm 16527  cpj1 16528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-pj1 16530 This theorem is referenced by:  ablfacrp2  16990  ablfac1eulem  16995  ablfac1eu  16996  pgpfaclem2  17005
 Copyright terms: Public domain W3C validator