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Theorem lsmfgcl 29453
Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfgcl.u  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
lsmfgcl.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmfgcl.d  |-  D  =  ( Ws  A )
lsmfgcl.e  |-  E  =  ( Ws  B )
lsmfgcl.f  |-  F  =  ( Ws  ( A  .(+)  B ) )
lsmfgcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsmfgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
lsmfgcl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
lsmfgcl.df  |-  ( ph  ->  D  e. LFinGen )
lsmfgcl.ef  |-  ( ph  ->  E  e. LFinGen )
Assertion
Ref Expression
lsmfgcl  |-  ( ph  ->  F  e. LFinGen )

Proof of Theorem lsmfgcl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmfgcl.f . 2  |-  F  =  ( Ws  ( A  .(+)  B ) )
2 lsmfgcl.df . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e. LFinGen )
3 lsmfgcl.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lsmfgcl.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
5 lsmfgcl.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Ws  A )
6 lsmfgcl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
95, 6, 7, 8islssfg2 29450 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  U )  ->  ( D  e. LFinGen  <->  E. a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
( ( LSpan `  W
) `  a )  =  A ) )
103, 4, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  e. LFinGen  <->  E. a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( ( LSpan `  W ) `  a
)  =  A ) )
112, 10mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
( ( LSpan `  W
) `  a )  =  A )
12 lsmfgcl.ef . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e. LFinGen )
13 lsmfgcl.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
14 lsmfgcl.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( Ws  B )
1514, 6, 7, 8islssfg2 29450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  U )  ->  ( E  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
( ( LSpan `  W
) `  b )  =  B ) )
163, 13, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( ( LSpan `  W ) `  b
)  =  B ) )
1712, 16mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
( ( LSpan `  W
) `  b )  =  B )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( ( LSpan `  W ) `  b
)  =  B )
19 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  C_ 
~P ( Base `  W
)
2019sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  a  e.  ~P ( Base `  W
) )
2120elpwid 3891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  a  C_  ( Base `  W
) )
2219sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  b  e.  ~P ( Base `  W
) )
2322elpwid 3891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  b  C_  ( Base `  W
) )
24 lsmfgcl.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
258, 7, 24lsmsp2 17190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  ( Base `  W
)  /\  b  C_  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )  =  ( ( LSpan `  W
) `  ( a  u.  b ) ) )
263, 21, 23, 25syl3an 1260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )  =  ( ( LSpan `  W
) `  ( a  u.  b ) ) )
27263expb 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  (
( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  ( ( LSpan `  W
) `  b )
)  =  ( (
LSpan `  W ) `  ( a  u.  b
) ) )
2827oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a
)  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  b
) ) )  =  ( Ws  ( ( LSpan `  W ) `  (
a  u.  b ) ) ) )
293adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  W  e.  LMod )
30 unss 3551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  C_  ( Base `  W )  /\  b  C_  ( Base `  W
) )  <->  ( a  u.  b )  C_  ( Base `  W ) )
3130biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  C_  ( Base `  W )  /\  b  C_  ( Base `  W
) )  ->  (
a  u.  b ) 
C_  ( Base `  W
) )
3221, 23, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  C_  ( Base `  W ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  (
a  u.  b ) 
C_  ( Base `  W
) )
34 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3534sseli 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  a  e.  Fin )
3634sseli 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  b  e.  Fin )
37 unfi 7600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  b  e.  Fin )  ->  ( a  u.  b
)  e.  Fin )
3835, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  Fin )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  (
a  u.  b )  e.  Fin )
40 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ws  ( ( LSpan `  W ) `  ( a  u.  b
) ) )  =  ( Ws  ( ( LSpan `  W ) `  (
a  u.  b ) ) )
417, 8, 40islssfgi 29451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  u.  b ) 
C_  ( Base `  W
)  /\  ( a  u.  b )  e.  Fin )  ->  ( Ws  ( (
LSpan `  W ) `  ( a  u.  b
) ) )  e. LFinGen )
4229, 33, 39, 41syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  ( Ws  ( ( LSpan `  W
) `  ( a  u.  b ) ) )  e. LFinGen )
4328, 42eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a
)  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  b
) ) )  e. LFinGen )
4443anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) )  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a
)  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  b
) ) )  e. LFinGen )
45 oveq2 6120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  b )  =  B  ->  ( ( (
LSpan `  W ) `  a )  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )  =  ( ( ( LSpan `  W ) `  a
)  .(+)  B ) )
4645oveq2d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  b )  =  B  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  b ) ) )  =  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  B ) ) )
4746eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  b )  =  B  ->  ( ( Ws  ( ( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  ( ( LSpan `  W
) `  b )
) )  e. LFinGen  <->  ( Ws  (
( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
4844, 47syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( LSpan `  W
) `  b )  =  B  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
4948rexlimdva 2862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( E. b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( (
LSpan `  W ) `  b )  =  B  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
5018, 49mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( Ws  (
( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen )
51 oveq1 6119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  A  ->  ( ( (
LSpan `  W ) `  a )  .(+)  B )  =  ( A  .(+)  B ) )
5251oveq2d 6128 . . . . . 6  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  A  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  B ) )  =  ( Ws  ( A  .(+)  B )
) )
5352eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  A  ->  ( ( Ws  ( ( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen  <->  ( Ws  ( A  .(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
5450, 53syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  a )  =  A  ->  ( Ws  ( A 
.(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
5554rexlimdva 2862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( ( LSpan `  W ) `  a
)  =  A  -> 
( Ws  ( A  .(+)  B ) )  e. LFinGen )
)
5611, 55mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( Ws  ( A  .(+)  B ) )  e. LFinGen )
571, 56syl5eqel 2527 1  |-  ( ph  ->  F  e. LFinGen )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   Basecbs 14195   ↾s cress 14196   LSSumclsm 16154   LModclmod 16970   LSubSpclss 17035   LSpanclspn 17074  LFinGenclfig 29446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-lsm 16156  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-lfig 29447
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  29465
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