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Theorem lsmfgcl 31182
Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfgcl.u  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
lsmfgcl.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmfgcl.d  |-  D  =  ( Ws  A )
lsmfgcl.e  |-  E  =  ( Ws  B )
lsmfgcl.f  |-  F  =  ( Ws  ( A  .(+)  B ) )
lsmfgcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsmfgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
lsmfgcl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
lsmfgcl.df  |-  ( ph  ->  D  e. LFinGen )
lsmfgcl.ef  |-  ( ph  ->  E  e. LFinGen )
Assertion
Ref Expression
lsmfgcl  |-  ( ph  ->  F  e. LFinGen )

Proof of Theorem lsmfgcl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmfgcl.f . 2  |-  F  =  ( Ws  ( A  .(+)  B ) )
2 lsmfgcl.df . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e. LFinGen )
3 lsmfgcl.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lsmfgcl.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
5 lsmfgcl.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Ws  A )
6 lsmfgcl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( LSubSp `  W )
7 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
8 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
95, 6, 7, 8islssfg2 31179 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  U )  ->  ( D  e. LFinGen  <->  E. a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
( ( LSpan `  W
) `  a )  =  A ) )
103, 4, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  e. LFinGen  <->  E. a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( ( LSpan `  W ) `  a
)  =  A ) )
112, 10mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
( ( LSpan `  W
) `  a )  =  A )
12 lsmfgcl.ef . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e. LFinGen )
13 lsmfgcl.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
14 lsmfgcl.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( Ws  B )
1514, 6, 7, 8islssfg2 31179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  U )  ->  ( E  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
( ( LSpan `  W
) `  b )  =  B ) )
163, 13, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( ( LSpan `  W ) `  b
)  =  B ) )
1712, 16mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
( ( LSpan `  W
) `  b )  =  B )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  E. b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( ( LSpan `  W ) `  b
)  =  B )
19 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  C_ 
~P ( Base `  W
)
2019sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  a  e.  ~P ( Base `  W
) )
2120elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  a  C_  ( Base `  W
) )
2219sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  b  e.  ~P ( Base `  W
) )
2322elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  b  C_  ( Base `  W
) )
24 lsmfgcl.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
258, 7, 24lsmsp2 17859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  C_  ( Base `  W
)  /\  b  C_  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )  =  ( ( LSpan `  W
) `  ( a  u.  b ) ) )
263, 21, 23, 25syl3an 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )  =  ( ( LSpan `  W
) `  ( a  u.  b ) ) )
27263expb 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  (
( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  ( ( LSpan `  W
) `  b )
)  =  ( (
LSpan `  W ) `  ( a  u.  b
) ) )
2827oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a
)  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  b
) ) )  =  ( Ws  ( ( LSpan `  W ) `  (
a  u.  b ) ) ) )
293adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  W  e.  LMod )
30 unss 3674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  C_  ( Base `  W )  /\  b  C_  ( Base `  W
) )  <->  ( a  u.  b )  C_  ( Base `  W ) )
3130biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  C_  ( Base `  W )  /\  b  C_  ( Base `  W
) )  ->  (
a  u.  b ) 
C_  ( Base `  W
) )
3221, 23, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  C_  ( Base `  W ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  (
a  u.  b ) 
C_  ( Base `  W
) )
34 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3534sseli 3495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  a  e.  Fin )
3634sseli 3495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i 
Fin )  ->  b  e.  Fin )
37 unfi 7805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  b  e.  Fin )  ->  ( a  u.  b
)  e.  Fin )
3835, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( a  u.  b )  e.  Fin )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  (
a  u.  b )  e.  Fin )
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ws  ( ( LSpan `  W ) `  ( a  u.  b
) ) )  =  ( Ws  ( ( LSpan `  W ) `  (
a  u.  b ) ) )
417, 8, 40islssfgi 31180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  u.  b ) 
C_  ( Base `  W
)  /\  ( a  u.  b )  e.  Fin )  ->  ( Ws  ( (
LSpan `  W ) `  ( a  u.  b
) ) )  e. LFinGen )
4229, 33, 39, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  ( Ws  ( ( LSpan `  W
) `  ( a  u.  b ) ) )  e. LFinGen )
4328, 42eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
) )  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a
)  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  b
) ) )  e. LFinGen )
4443anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) )  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a
)  .(+)  ( ( LSpan `  W ) `  b
) ) )  e. LFinGen )
45 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  b )  =  B  ->  ( ( (
LSpan `  W ) `  a )  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )  =  ( ( ( LSpan `  W ) `  a
)  .(+)  B ) )
4645oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  b )  =  B  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  ( (
LSpan `  W ) `  b ) ) )  =  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  B ) ) )
4746eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  b )  =  B  ->  ( ( Ws  ( ( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  ( ( LSpan `  W
) `  b )
) )  e. LFinGen  <->  ( Ws  (
( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
4844, 47syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( LSpan `  W
) `  b )  =  B  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
4948rexlimdva 2949 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( E. b  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( (
LSpan `  W ) `  b )  =  B  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
5018, 49mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( Ws  (
( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen )
51 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  A  ->  ( ( (
LSpan `  W ) `  a )  .(+)  B )  =  ( A  .(+)  B ) )
5251oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  A  ->  ( Ws  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  .(+)  B ) )  =  ( Ws  ( A  .(+)  B )
) )
5352eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  A  ->  ( ( Ws  ( ( ( LSpan `  W
) `  a )  .(+)  B ) )  e. LFinGen  <->  ( Ws  ( A  .(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
5450, 53syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( Base `  W
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  a )  =  A  ->  ( Ws  ( A 
.(+)  B ) )  e. LFinGen ) )
5554rexlimdva 2949 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( Base `  W )  i^i  Fin ) ( ( LSpan `  W ) `  a
)  =  A  -> 
( Ws  ( A  .(+)  B ) )  e. LFinGen )
)
5611, 55mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( Ws  ( A  .(+)  B ) )  e. LFinGen )
571, 56syl5eqel 2549 1  |-  ( ph  ->  F  e. LFinGen )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   Basecbs 14643   ↾s cress 14644   LSSumclsm 16780   LModclmod 17638   LSubSpclss 17704   LSpanclspn 17743  LFinGenclfig 31175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-cntz 16481  df-lsm 16782  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lfig 31176
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  31194
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