MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelvalx Structured version   Unicode version

Theorem lsmelvalx 16261
Description: Subspace sum membership (for a group or vector space). Extended domain version of lsmelval 16270. (Contributed by NM, 28-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfval.v  |-  B  =  ( Base `  G
)
lsmfval.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
lsmfval.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmelvalx  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z
) ) )
Distinct variable groups:    y, z,  .+    y, B, z    y, T, z    y, X, z   
y, G, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    .(+) ( y, z)    V( y, z)

Proof of Theorem lsmelvalx
StepHypRef Expression
1 lsmfval.v . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 lsmfval.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 lsmfval.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmvalx 16260 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z ) ) )
54eleq2d 2524 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  X  e.  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z
) ) ) )
6 eqid 2454 . . 3  |-  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y 
.+  z ) )  =  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z ) )
7 ovex 6226 . . 3  |-  ( y 
.+  z )  e. 
_V
86, 7elrnmpt2 6314 . 2  |-  ( X  e.  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y 
.+  z ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z ) )
95, 8syl6bb 261 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800    C_ wss 3437   ran crn 4950   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   LSSumclsm 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-lsm 16257
This theorem is referenced by:  lsmelvalix  16262  lsmless1x  16265  lsmless2x  16266  lsmelval  16270  lsmsubm  16274  lsmass  16289  lsmcomx  16460  lsmcss  18243
  Copyright terms: Public domain W3C validator