Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelval2 Structured version   Unicode version

Theorem lsmelval2 18251
 Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelval2.v
lsmelval2.s
lsmelval2.p
lsmelval2.n
lsmelval2.w
lsmelval2.t
lsmelval2.u
Assertion
Ref Expression
lsmelval2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem lsmelval2
StepHypRef Expression
1 lsmelval2.w . . . . . 6
2 lsmelval2.t . . . . . 6
3 lsmelval2.s . . . . . . 7
43lsssubg 18123 . . . . . 6 SubGrp
51, 2, 4syl2anc 665 . . . . 5 SubGrp
6 lsmelval2.u . . . . . 6
73lsssubg 18123 . . . . . 6 SubGrp
81, 6, 7syl2anc 665 . . . . 5 SubGrp
9 eqid 2428 . . . . . 6
10 lsmelval2.p . . . . . 6
119, 10lsmelval 17244 . . . . 5 SubGrp SubGrp
125, 8, 11syl2anc 665 . . . 4
131adantr 466 . . . . . . . . . . 11
142adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
15 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13
16 lsmelval2.v . . . . . . . . . . . . . 14
1716, 3lssel 18104 . . . . . . . . . . . . 13
1814, 15, 17syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12
19 lsmelval2.n . . . . . . . . . . . . 13
2016, 3, 19lspsncl 18143 . . . . . . . . . . . 12
2113, 18, 20syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11
223lsssubg 18123 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2313, 21, 22syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 SubGrp
246adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
25 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13
2616, 3lssel 18104 . . . . . . . . . . . . 13
2724, 25, 26syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12
2816, 3, 19lspsncl 18143 . . . . . . . . . . . 12
2913, 27, 28syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11
303lsssubg 18123 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
3113, 29, 30syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 SubGrp
3216, 19lspsnid 18159 . . . . . . . . . . 11
3313, 18, 32syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
3416, 19lspsnid 18159 . . . . . . . . . . 11
3513, 27, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
369, 10lsmelvali 17245 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 1265 . . . . . . . . 9
38 eleq1a 2501 . . . . . . . . 9
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8
403, 10lsmcl 18249 . . . . . . . . . 10
4113, 21, 29, 40syl3anc 1264 . . . . . . . . 9
4216, 3, 19, 13, 41lspsnel6 18160 . . . . . . . 8
4339, 42sylibd 217 . . . . . . 7
4443anassrs 652 . . . . . 6
4544reximdva 2839 . . . . 5
4645reximdva 2839 . . . 4
4712, 46sylbid 218 . . 3
485adantr 466 . . . . . . . 8 SubGrp
493, 19, 13, 14, 15lspsnel5a 18162 . . . . . . . 8
5010lsmless1 17254 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
5148, 31, 49, 50syl3anc 1264 . . . . . . 7
528adantr 466 . . . . . . . 8 SubGrp
533, 19, 13, 24, 25lspsnel5a 18162 . . . . . . . 8
5410lsmless2 17255 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
5548, 52, 53, 54syl3anc 1264 . . . . . . 7
5651, 55sstrd 3417 . . . . . 6
5756sseld 3406 . . . . 5
5842, 57sylbird 238 . . . 4
5958rexlimdvva 2863 . . 3
6047, 59impbid 193 . 2
61 r19.42v 2922 . . . 4
6261rexbii 2866 . . 3
63 r19.42v 2922 . . 3
6462, 63bitri 252 . 2
6560, 64syl6bb 264 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wrex 2715   wss 3379  csn 3941  cfv 5544  (class class class)co 6249  cbs 15064   cplusg 15133  SubGrpcsubg 16754  clsm 17229  clmod 18034  clss 18098  clspn 18137 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-0g 15283  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-subg 16757  df-cntz 16914  df-lsm 17231  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lsp 18138 This theorem is referenced by:  dihjat1lem  34908
 Copyright terms: Public domain W3C validator