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Theorem lsmelval2 18251
Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelval2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmelval2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmelval2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmelval2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmelval2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsmelval2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lsmelval2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lsmelval2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z,  .(+)    y, T, z    y, U, z    y, V, z   
y, W, z    y, X, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    S( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem lsmelval2
StepHypRef Expression
1 lsmelval2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmelval2.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
3 lsmelval2.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
43lsssubg 18123 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
51, 2, 4syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
6 lsmelval2.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
73lsssubg 18123 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
81, 6, 7syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
9 eqid 2428 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lsmelval2.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
119, 10lsmelval 17244 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y
( +g  `  W ) z ) ) )
125, 8, 11syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
131adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
142adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  T  e.  S )
15 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  T )
16 lsmelval2.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  W
)
1716, 3lssel 18104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  S  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  V )
1814, 15, 17syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  V )
19 lsmelval2.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2016, 3, 19lspsncl 18143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
2113, 18, 20syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  e.  S )
223lsssubg 18123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S
)  ->  ( N `  { y } )  e.  (SubGrp `  W
) )
2313, 21, 22syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  e.  (SubGrp `  W )
)
246adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
25 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  U )
2616, 3lssel 18104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  S  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  V )
2724, 25, 26syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  V )
2816, 3, 19lspsncl 18143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  ( N `  { z } )  e.  S
)
2913, 27, 28syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  e.  S )
303lsssubg 18123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { z } )  e.  S
)  ->  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W
) )
3113, 29, 30syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  e.  (SubGrp `  W )
)
3216, 19lspsnid 18159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
3313, 18, 32syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  ( N `
 { y } ) )
3416, 19lspsnid 18159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  z  e.  ( N `  {
z } ) )
3513, 27, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  ( N `
 { z } ) )
369, 10lsmelvali 17245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  { y } )  e.  (SubGrp `  W
)  /\  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W
) )  /\  (
y  e.  ( N `
 { y } )  /\  z  e.  ( N `  {
z } ) ) )  ->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( ( N `
 { y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
38 eleq1a 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( +g  `  W
) z )  e.  ( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  ->  ( X  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  X  e.  ( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  ->  X  e.  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) ) )
403, 10lsmcl 18249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S  /\  ( N `  {
z } )  e.  S )  ->  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  e.  S )
4113, 21, 29, 40syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  e.  S )
4216, 3, 19, 13, 41lspsnel6 18160 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  <->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4339, 42sylibd 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4443anassrs 652 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  T )  /\  z  e.  U )  ->  ( X  =  ( y
( +g  `  W ) z )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4544reximdva 2839 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  T )  ->  ( E. z  e.  U  X  =  ( y
( +g  `  W ) z )  ->  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4645reximdva 2839 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4712, 46sylbid 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
485adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
493, 19, 13, 14, 15lspsnel5a 18162 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  C_  T )
5010lsmless1 17254 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { y } )  C_  T
)  ->  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) )  C_  ( T  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
5148, 31, 49, 50syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
( N `  {
z } ) ) )
528adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W
) )
533, 19, 13, 24, 25lspsnel5a 18162 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  C_  U )
5410lsmless2 17255 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  {
z } )  C_  U )  ->  ( T  .(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
U ) )
5548, 52, 53, 54syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( T  .(+)  ( N `
 { z } ) )  C_  ( T  .(+)  U ) )
5651, 55sstrd 3417 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
U ) )
5756sseld 3406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
5842, 57sylbird 238 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( X  e.  V  /\  ( N `
 { X }
)  C_  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
5958rexlimdvva 2863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `
 { X }
)  C_  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
6047, 59impbid 193 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
61 r19.42v 2922 . . . 4  |-  ( E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6261rexbii 2866 . . 3  |-  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <->  E. y  e.  T  ( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
63 r19.42v 2922 . . 3  |-  ( E. y  e.  T  ( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6462, 63bitri 252 . 2  |-  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6560, 64syl6bb 264 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   E.wrex 2715    C_ wss 3379   {csn 3941   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   +g cplusg 15133  SubGrpcsubg 16754   LSSumclsm 17229   LModclmod 18034   LSubSpclss 18098   LSpanclspn 18137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-0g 15283  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-subg 16757  df-cntz 16914  df-lsm 17231  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lsp 18138
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