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Theorem lsmelval2 17185
Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelval2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmelval2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmelval2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmelval2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmelval2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsmelval2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lsmelval2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lsmelval2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z,  .(+)    y, T, z    y, U, z    y, V, z   
y, W, z    y, X, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    S( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem lsmelval2
StepHypRef Expression
1 lsmelval2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmelval2.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
3 lsmelval2.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
43lsssubg 17057 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
51, 2, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
6 lsmelval2.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
73lsssubg 17057 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
81, 6, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lsmelval2.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
119, 10lsmelval 16167 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y
( +g  `  W ) z ) ) )
125, 8, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
131adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
142adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  T  e.  S )
15 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  T )
16 lsmelval2.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  W
)
1716, 3lssel 17038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  S  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  V )
1814, 15, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  V )
19 lsmelval2.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2016, 3, 19lspsncl 17077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
2113, 18, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  e.  S )
223lsssubg 17057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S
)  ->  ( N `  { y } )  e.  (SubGrp `  W
) )
2313, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  e.  (SubGrp `  W )
)
246adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
25 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  U )
2616, 3lssel 17038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  S  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  V )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  V )
2816, 3, 19lspsncl 17077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  ( N `  { z } )  e.  S
)
2913, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  e.  S )
303lsssubg 17057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { z } )  e.  S
)  ->  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W
) )
3113, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  e.  (SubGrp `  W )
)
3216, 19lspsnid 17093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
3313, 18, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  ( N `
 { y } ) )
3416, 19lspsnid 17093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  z  e.  ( N `  {
z } ) )
3513, 27, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  ( N `
 { z } ) )
369, 10lsmelvali 16168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  { y } )  e.  (SubGrp `  W
)  /\  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W
) )  /\  (
y  e.  ( N `
 { y } )  /\  z  e.  ( N `  {
z } ) ) )  ->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( ( N `
 { y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
38 eleq1a 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( +g  `  W
) z )  e.  ( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  ->  ( X  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  X  e.  ( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  ->  X  e.  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) ) )
403, 10lsmcl 17183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S  /\  ( N `  {
z } )  e.  S )  ->  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  e.  S )
4113, 21, 29, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  e.  S )
4216, 3, 19, 13, 41lspsnel6 17094 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  <->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4339, 42sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4443anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  T )  /\  z  e.  U )  ->  ( X  =  ( y
( +g  `  W ) z )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4544reximdva 2847 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  T )  ->  ( E. z  e.  U  X  =  ( y
( +g  `  W ) z )  ->  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4645reximdva 2847 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4712, 46sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
485adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
493, 19, 13, 14, 15lspsnel5a 17096 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  C_  T )
5010lsmless1 16177 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { y } )  C_  T
)  ->  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) )  C_  ( T  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
5148, 31, 49, 50syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
( N `  {
z } ) ) )
528adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W
) )
533, 19, 13, 24, 25lspsnel5a 17096 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  C_  U )
5410lsmless2 16178 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  {
z } )  C_  U )  ->  ( T  .(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
U ) )
5548, 52, 53, 54syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( T  .(+)  ( N `
 { z } ) )  C_  ( T  .(+)  U ) )
5651, 55sstrd 3385 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
U ) )
5756sseld 3374 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
5842, 57sylbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( X  e.  V  /\  ( N `
 { X }
)  C_  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
5958rexlimdvva 2867 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `
 { X }
)  C_  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
6047, 59impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
61 r19.42v 2894 . . . 4  |-  ( E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6261rexbii 2759 . . 3  |-  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <->  E. y  e.  T  ( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
63 r19.42v 2894 . . 3  |-  ( E. y  e.  T  ( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6462, 63bitri 249 . 2  |-  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6560, 64syl6bb 261 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2735    C_ wss 3347   {csn 3896   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   Basecbs 14193   +g cplusg 14257  SubGrpcsubg 15694   LSSumclsm 16152   LModclmod 16967   LSubSpclss 17032   LSpanclspn 17071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-0g 14399  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566  df-subg 15697  df-cntz 15854  df-lsm 16154  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-lmod 16969  df-lss 17033  df-lsp 17072
This theorem is referenced by:  dihjat1lem  35096
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