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Theorem lsmdisj2 16172
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmcntz.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmdisj.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
lsmdisj.i  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
lsmdisj2.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)

Proof of Theorem lsmdisj2
Dummy variables  x  u  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 lsmcntz.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
3 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 lsmcntz.p . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
53, 4lsmelval 16141 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s
( +g  `  G ) u ) ) )
61, 2, 5syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
7 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  S )
8 subgrcl 15679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
91, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
109ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  G  e.  Grp )
111ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
12 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1312subgss 15675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1514, 7sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( Base `  G )
)
16 lsmdisj.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1812, 3, 16, 17grplinv 15577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 s ) ( +g  `  G ) s )  =  .0.  )
1910, 15, 18syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s )  =  .0.  )
2019oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
) u ) )
2117subginvcl 15683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  s  e.  S )  ->  (
( invg `  G ) `  s
)  e.  S )
2211, 7, 21syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 s )  e.  S )
2314, 22sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
) )
242ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
2512subgss 15675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
27 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  U )
2826, 27sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( Base `  G )
)
2912, 3grpass 15545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
)  /\  s  e.  ( Base `  G )  /\  u  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3010, 23, 15, 28, 29syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3112, 3, 16grplid 15561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  G ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3210, 28, 31syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3320, 30, 323eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  =  u )
34 lsmcntz.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3534ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
36 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)
373, 4lsmelvali 16142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  s
)  e.  S  /\  ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  s )
( +g  `  G ) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S 
.(+)  T ) )
3811, 35, 22, 36, 37syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S  .(+)  T ) )
3933, 38eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( S  .(+)  T ) )
4039, 27elind 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U ) )
41 lsmdisj.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
4241ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i 
U )  =  {  .0.  } )
4340, 42eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  {  .0.  } )
44 elsni 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  {  .0.  }  ->  u  =  .0.  )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  =  .0.  )
4645oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  ( s ( +g  `  G
)  .0.  ) )
4712, 3, 16grprid 15562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( s ( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
4810, 15, 47syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
4946, 48eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  s )
5049, 36eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  T )
517, 50elind 3537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( S  i^i  T ) )
52 lsmdisj2.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
5352ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } )
5451, 53eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  {  .0.  } )
55 elsni 3899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  {  .0.  }  ->  s  =  .0.  )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  =  .0.  )
5756, 45oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  ) )
5812, 16grpidcl 15559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
599, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
6012, 3, 16grplid 15561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
619, 59, 60syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6261ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6357, 62eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  )
6463ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  ( s ( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
65 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  e.  T  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
) )
66 eqeq1 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
6765, 66imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )  <->  ( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  (
s ( +g  `  G
) u )  =  .0.  ) ) )
6864, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
6968rexlimdvva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
706, 69sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  ( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
7170com23 78 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  x  =  .0.  )
) )
7271imp3a 431 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) )  ->  x  =  .0.  ) )
73 elin 3536 . . . 4  |-  ( x  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  <->  ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) ) )
74 elsn 3888 . . . 4  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
7572, 73, 743imtr4g 270 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( T  i^i  ( S 
.(+)  U ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
7675ssrdv 3359 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) 
C_  {  .0.  } )
7716subg0cl 15682 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  T )
7834, 77syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  T )
794lsmub1 16148 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  U ) )
801, 2, 79syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
U ) )
8116subg0cl 15682 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
821, 81syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
8380, 82sseldd 3354 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S 
.(+)  U ) )
8478, 83elind 3537 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8584snssd 4015 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8676, 85eqssd 3370 1  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714    i^i cin 3324    C_ wss 3325   {csn 3874   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  SubGrpcsubg 15668   LSSumclsm 16126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-subg 15671  df-lsm 16128
This theorem is referenced by:  lsmdisj3  16173  lsmdisj2r  16175  lsmdisj2a  16177  dprd2da  16531
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