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Theorem lsmdisj2 16573
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmcntz.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmdisj.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
lsmdisj.i  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
lsmdisj2.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)

Proof of Theorem lsmdisj2
Dummy variables  x  u  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 lsmcntz.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
3 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 lsmcntz.p . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
53, 4lsmelval 16542 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s
( +g  `  G ) u ) ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
7 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  S )
8 subgrcl 16078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
91, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  G  e.  Grp )
111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
12 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1312subgss 16074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1514, 7sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( Base `  G )
)
16 lsmdisj.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1812, 3, 16, 17grplinv 15968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 s ) ( +g  `  G ) s )  =  .0.  )
1910, 15, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s )  =  .0.  )
2019oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
) u ) )
2117subginvcl 16082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  s  e.  S )  ->  (
( invg `  G ) `  s
)  e.  S )
2211, 7, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 s )  e.  S )
2314, 22sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
) )
242ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
2512subgss 16074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
27 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  U )
2826, 27sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( Base `  G )
)
2912, 3grpass 15936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
)  /\  s  e.  ( Base `  G )  /\  u  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3010, 23, 15, 28, 29syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3112, 3, 16grplid 15952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  G ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3210, 28, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3320, 30, 323eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  =  u )
34 lsmcntz.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)
373, 4lsmelvali 16543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  s
)  e.  S  /\  ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T ) )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  s )
( +g  `  G ) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S 
.(+)  T ) )
3811, 35, 22, 36, 37syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S  .(+)  T ) )
3933, 38eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( S  .(+)  T ) )
4039, 27elind 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U ) )
41 lsmdisj.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i 
U )  =  {  .0.  } )
4340, 42eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  {  .0.  } )
44 elsni 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  {  .0.  }  ->  u  =  .0.  )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  =  .0.  )
4645oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  ( s ( +g  `  G
)  .0.  ) )
4712, 3, 16grprid 15953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( s ( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
4810, 15, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
4946, 48eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  s )
5049, 36eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  T )
517, 50elind 3693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( S  i^i  T ) )
52 lsmdisj2.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } )
5451, 53eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  {  .0.  } )
55 elsni 4058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  {  .0.  }  ->  s  =  .0.  )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  =  .0.  )
5756, 45oveq12d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  ) )
5812, 16grpidcl 15950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
599, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
6012, 3, 16grplid 15952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
619, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6357, 62eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  )
6463ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  ( s ( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
65 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  e.  T  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
) )
66 eqeq1 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
6765, 66imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )  <->  ( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  (
s ( +g  `  G
) u )  =  .0.  ) ) )
6864, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
6968rexlimdvva 2966 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
706, 69sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  ( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
7170com23 78 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  x  =  .0.  )
) )
7271impd 431 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) )  ->  x  =  .0.  ) )
73 elin 3692 . . . 4  |-  ( x  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  <->  ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) ) )
74 elsn 4047 . . . 4  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
7572, 73, 743imtr4g 270 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( T  i^i  ( S 
.(+)  U ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
7675ssrdv 3515 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) 
C_  {  .0.  } )
7716subg0cl 16081 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  T )
7834, 77syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  T )
794lsmub1 16549 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  U ) )
801, 2, 79syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
U ) )
8116subg0cl 16081 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
821, 81syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
8380, 82sseldd 3510 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S 
.(+)  U ) )
8478, 83elind 3693 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8584snssd 4178 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8676, 85eqssd 3526 1  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   {csn 4033   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926  SubGrpcsubg 16067   LSSumclsm 16527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-lsm 16529
This theorem is referenced by:  lsmdisj3  16574  lsmdisj2r  16576  lsmdisj2a  16578  dprd2da  16963
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