Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmcv2 Structured version   Unicode version

Theorem lsmcv2 35167
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 27328 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcv2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmcv2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmcv2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcv2.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsmcv2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsmcv2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsmcv2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsmcv2.l  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  U )
Assertion
Ref Expression
lsmcv2  |-  ( ph  ->  U C ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )

Proof of Theorem lsmcv2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcv2.l . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  U )
2 lsmcv2.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
3 lsmcv2.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 17865 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lsmcv2.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
76lsssssubg 17717 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
9 lsmcv2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
108, 9sseldd 3418 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
11 lsmcv2.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 lsmcv2.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lsmcv2.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1412, 6, 13lspsncl 17736 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
155, 11, 14syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
168, 15sseldd 3418 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
172, 10, 16lssnle 16809 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( N `
 { X }
)  C_  U  <->  U  C.  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
181, 17mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  U  C.  ( U  .(+) 
( N `  { X } ) ) )
19 3simpa 991 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  ( ph  /\  x  e.  S
) )
20 simp3l 1022 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  U  C.  x )
21 simp3r 1023 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  x  C_  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
223adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  LVec )
239adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  U  e.  S )
24 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
2511adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  X  e.  V )
2612, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25lsmcv 17900 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  ->  x  =  ( U  .(+) 
( N `  { X } ) ) )
2719, 20, 21, 26syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
28273exp 1193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) ) )
2928ralrimiv 2794 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
30 lsmcv2.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
316, 2lsmcl 17842 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  ( N `  { X } )  e.  S
)  ->  ( U  .(+) 
( N `  { X } ) )  e.  S )
325, 9, 15, 31syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) )  e.  S
)
336, 30, 3, 9, 32lcvbr2 35160 . 2  |-  ( ph  ->  ( U C ( U  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  ( U  C.  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) )  /\  A. x  e.  S  (
( U  C.  x  /\  x  C_  ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) ) ) )
3418, 29, 33mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  U C ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732    C_ wss 3389    C. wpss 3390   {csn 3944   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634  SubGrpcsubg 16312   LSSumclsm 16771   LModclmod 17625   LSubSpclss 17691   LSpanclspn 17730   LVecclvec 17861    <oLL clcv 35156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-lsm 16773  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-drng 17511  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-lvec 17862  df-lcv 35157
This theorem is referenced by:  lcv1  35179
  Copyright terms: Public domain W3C validator