MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcv Structured version   Unicode version

Theorem lsmcv 17587
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 26274 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmcv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmcv.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsmcv.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lsmcv.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsmcv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsmcv  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  =  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )

Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
2 simp2 997 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  C.  U
)
3 pssss 3599 . . . 4  |-  ( T 
C.  U  ->  T  C_  U )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  C_  U
)
5 pssnel 3892 . . . . 5  |-  ( T 
C.  U  ->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )
62, 5syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )
7 simpl3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  x  e.  U )
97, 8sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  x  e.  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
11 lveclmod 17552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
1413lsssssubg 17404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
1715, 16sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  ( Base `  W
)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2119, 13, 20lspsncl 17423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
2212, 18, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
2315, 22sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
24 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2624, 25lsmelval 16475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( x  e.  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
2717, 23, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
28273ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
x  e.  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
309, 29mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )
31 simp1rr 1062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  -.  x  e.  T )
32 simp2l 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  T )
33 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  (
y ( +g  `  W
) z )  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )
3433eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  <->  x  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) ) )
3534biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  /\  z  =  ( 0g `  W ) )  ->  x  =  ( y
( +g  `  W ) ( 0g `  W
) ) )
36123ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
38163ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  e.  S )
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  e.  S )
40 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  y  e.  T )
4119, 13lssel 17384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  S  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  V )
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  y  e.  V )
43 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4419, 24, 43lmod0vrid 17343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  (
y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  y )
4537, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  y )
4645eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  <->  x  =  y ) )
4746biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y )
)
4847ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y )
) )
4935, 48syl7 68 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  /\  z  =  ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y ) ) )
5049exp4a 606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  =  y ) ) ) )
51503imp 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  =  y ) )
52 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  T  <->  y  e.  T ) )
5352biimparc 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  T  /\  x  =  y )  ->  x  e.  T )
5432, 51, 53syl6an 545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  e.  T ) )
5554necon3bd 2679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( -.  x  e.  T  ->  z  =/=  ( 0g `  W ) ) )
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  =/=  ( 0g `  W ) )
57103ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LVec )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  W  e.  LVec )
59583ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  LVec )
60 lmodabl 17357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6111, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
Abel )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  Abel )
63 simp1l1 1089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ph )
6463, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  T  e.  S )
6564, 32, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  V )
6659, 11syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  LMod )
6763, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  X  e.  V )
6866, 67, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
69 simp2r 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  ( N `  { X } ) )
7019, 13lssel 17384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  S  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
z  e.  V )
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  V )
72 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
7319, 24, 72ablpncan2 16632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
( y ( +g  `  W ) z ) ( -g `  W
) y )  =  z )
7462, 65, 71, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) (
-g `  W )
y )  =  z )
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
7663, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  U  e.  S )
77 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )
78 simp1rl 1061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  x  e.  U )
7977, 78eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  U
)
80 simp1l2 1090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  T  C.  U
)
813sselda 3504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  C.  U  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  U )
8280, 32, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  U )
8372, 13lssvsubcl 17390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( ( y ( +g  `  W
) z )  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( -g `  W ) y )  e.  U )
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) (
-g `  W )
y )  e.  U
)
8574, 84eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  U )
86593ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  LVec )
87633ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ph )
8887, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  X  e.  V )
89 simp12r 1110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( N `  { X } ) )
90 simp2 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  ( 0g `  W
) )
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 17561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { z } )  =  ( N `  { X } ) )
9286, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
9387, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  U  e.  S )
94 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 17442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { z } )  C_  U
)
9691, 95eqsstr3d 3539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
9756, 85, 96mpd3an23 1326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U )
98973exp 1195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( N `  { X } )  C_  U
) ) )
9998rexlimdvv 2961 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  ( N `  { X } )  C_  U ) )
10030, 99mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
1016, 100exlimddv 1702 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U )
10215, 75sseldd 3505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
10325lsmlub 16489 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  U ) )
10417, 23, 102, 103syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U )  <->  ( T  .(+) 
( N `  { X } ) )  C_  U ) )
1051043ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  U ) )
1064, 101, 105mpbi2and 919 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( T  .(+) 
( N `  { X } ) )  C_  U )
1071, 106eqssd 3521 1  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  =  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    C_ wss 3476    C. wpss 3477   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695   -gcsg 15730  SubGrpcsubg 16000   LSSumclsm 16460   Abelcabl 16605   LModclmod 17312   LSubSpclss 17378   LSpanclspn 17417   LVecclvec 17548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549
This theorem is referenced by:  lshpnelb  33799  lshpcmp  33803  lsmsatcv  33825  lsmcv2  33844  dochshpncl  36199
  Copyright terms: Public domain W3C validator