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Theorem lsmcv 17982
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 26768 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmcv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmcv.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsmcv.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lsmcv.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsmcv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsmcv  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  =  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )

Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 996 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
2 simp2 995 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  C.  U
)
3 pssss 3585 . . . 4  |-  ( T 
C.  U  ->  T  C_  U )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  C_  U
)
5 pssnel 3881 . . . . 5  |-  ( T 
C.  U  ->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )
62, 5syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )
7 simpl3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  x  e.  U )
97, 8sseldd 3490 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  x  e.  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
11 lveclmod 17947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
1413lsssssubg 17799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
1715, 16sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  ( Base `  W
)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2119, 13, 20lspsncl 17818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
2212, 18, 21syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
2315, 22sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
24 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2624, 25lsmelval 16868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( x  e.  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
2717, 23, 26syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
28273ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
2928adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
x  e.  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
309, 29mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )
31 simp1rr 1060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  -.  x  e.  T )
32 simp2l 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  T )
33 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  (
y ( +g  `  W
) z )  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )
3433eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  <->  x  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) ) )
3534biimpac 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  /\  z  =  ( 0g `  W ) )  ->  x  =  ( y
( +g  `  W ) ( 0g `  W
) ) )
36123ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
3736ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
38163ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  e.  S )
3938ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  e.  S )
40 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  y  e.  T )
4119, 13lssel 17779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  S  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  V )
4239, 40, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  y  e.  V )
43 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4419, 24, 43lmod0vrid 17738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  (
y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  y )
4537, 42, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  y )
4645eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  <->  x  =  y ) )
4746biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y )
)
4847ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y )
) )
4935, 48syl7 68 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  /\  z  =  ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y ) ) )
5049exp4a 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  =  y ) ) ) )
51503imp 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  =  y ) )
52 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  T  <->  y  e.  T ) )
5352biimparc 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  T  /\  x  =  y )  ->  x  e.  T )
5432, 51, 53syl6an 543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  e.  T ) )
5554necon3bd 2666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( -.  x  e.  T  ->  z  =/=  ( 0g `  W ) ) )
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  =/=  ( 0g `  W ) )
57103ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LVec )
5857adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  W  e.  LVec )
59583ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  LVec )
60 lmodabl 17752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6111, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
Abel )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  Abel )
63 simp1l1 1087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ph )
6463, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  T  e.  S )
6564, 32, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  V )
6659, 11syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  LMod )
6763, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  X  e.  V )
6866, 67, 21syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
69 simp2r 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  ( N `  { X } ) )
7019, 13lssel 17779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  S  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
z  e.  V )
7168, 69, 70syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  V )
72 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
7319, 24, 72ablpncan2 17025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
( y ( +g  `  W ) z ) ( -g `  W
) y )  =  z )
7462, 65, 71, 73syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) (
-g `  W )
y )  =  z )
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
7663, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  U  e.  S )
77 simp3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )
78 simp1rl 1059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  x  e.  U )
7977, 78eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  U
)
80 simp1l2 1088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  T  C.  U
)
813sselda 3489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  C.  U  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  U )
8280, 32, 81syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  U )
8372, 13lssvsubcl 17785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( ( y ( +g  `  W
) z )  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( -g `  W ) y )  e.  U )
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) (
-g `  W )
y )  e.  U
)
8574, 84eqeltrrd 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  U )
86593ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  LVec )
87633ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ph )
8887, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  X  e.  V )
89 simp12r 1108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( N `  { X } ) )
90 simp2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  ( 0g `  W
) )
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 17956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { z } )  =  ( N `  { X } ) )
9286, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
9387, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  U  e.  S )
94 simp3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 17837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { z } )  C_  U
)
9691, 95eqsstr3d 3524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
9756, 85, 96mpd3an23 1324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U )
98973exp 1193 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( N `  { X } )  C_  U
) ) )
9998rexlimdvv 2952 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  ( N `  { X } )  C_  U ) )
10030, 99mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
1016, 100exlimddv 1731 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U )
10215, 75sseldd 3490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
10325lsmlub 16882 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  U ) )
10417, 23, 102, 103syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U )  <->  ( T  .(+) 
( N `  { X } ) )  C_  U ) )
1051043ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  U ) )
1064, 101, 105mpbi2and 919 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( T  .(+) 
( N `  { X } ) )  C_  U )
1071, 106eqssd 3506 1  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  =  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805    C_ wss 3461    C. wpss 3462   {csn 4016   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   0gc0g 14929   -gcsg 16254  SubGrpcsubg 16394   LSSumclsm 16853   Abelcabl 16998   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773   LSpanclspn 17812   LVecclvec 17943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944
This theorem is referenced by:  lshpnelb  35106  lshpcmp  35110  lsmsatcv  35132  lsmcv2  35151  dochshpncl  37508
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