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Theorem lsmcss 18122
Description: A subset of a pre-Hilbert space whose double orthocomplement has a projection decomposition is a closed subspace. This is the core of the proof that a topologically closed subspace is algebraically closed in a Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
lsmcss.j  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
lsmcss.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcss.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
lsmcss.2  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
lsmcss.3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsmcss  |-  ( ph  ->  S  e.  C )

Proof of Theorem lsmcss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcss.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) )
21sseld 3360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) ) )
3 lsmcss.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
4 phllmod 18064 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lsmcss.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
7 lsmcss.j . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lsmcss.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
97, 8ocvss 18100 . . . . . . . 8  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  S ) 
C_  V )
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
12 lsmcss.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
137, 11, 12lsmelvalx 16144 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  C_  V  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
145, 6, 10, 13syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
152, 14sylibd 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
163ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  PreHil )
176ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  S  C_  V )
18 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
y  e.  S )
1917, 18sseldd 3362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
y  e.  V )
20 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  e.  (  ._|_  `  S ) )
219, 20sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  e.  V )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
2522, 23, 7, 11, 24ipdir 18073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V  /\  z  e.  V )
)  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) ( .i `  W ) z )  =  ( ( y ( .i
`  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
2616, 19, 21, 21, 25syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( ( y ( .i `  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
27 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
287, 23, 22, 27, 8ocvi 18099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  (  ._|_  `  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
2920, 18, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
3022, 23, 7, 27iporthcom 18069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( y ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3116, 21, 19, 30syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  ( y
( .i `  W
) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
3332oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( .i `  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W )
) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
3416, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  LMod )
3522lmodfgrp 16962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
37 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3822, 23, 7, 37ipcl 18067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
z ( .i `  W ) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3916, 21, 21, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
4037, 24, 27grplid 15573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( z ( .i `  W
) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
4136, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
4226, 33, 413eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
43 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
447, 23, 22, 27, 8ocvi 18099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y ( +g  `  W ) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  z  e.  ( 
._|_  `  S ) )  ->  ( ( y ( +g  `  W
) z ) ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4543, 20, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
4642, 45eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
47 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4822, 23, 7, 27, 47ipeq0 18072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V )  ->  (
( z ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  z  =  ( 0g `  W ) ) )
4916, 21, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( z ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  z  =  ( 0g `  W ) ) )
5046, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  =  ( 0g
`  W ) )
5150oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g `  W
) ) )
52 lmodgrp 16960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
535, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  Grp )
557, 11, 47grprid 15574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  y  e.  V )  ->  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  y )
5654, 19, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  y )
5751, 56eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  =  y )
5857, 18eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  S )
5958ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
y ( +g  `  W
) z )  e.  S ) )
60 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <->  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
61 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
x  e.  S  <->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  S
) )
6260, 61imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S )  <->  ( (
y ( +g  `  W
) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  S ) ) )
6359, 62syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) ) )
6463rexlimdvva 2853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S ) x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) ) )
6515, 64syld 44 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  x  e.  S ) ) )
6665pm2.43d 48 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) )
6766ssrdv 3367 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
68 lsmcss.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
697, 68, 8iscss2 18116 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)
703, 6, 69syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  S
) )
7167, 70mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  S  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721    C_ wss 3333   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243  Scalarcsca 14246   .icip 14248   0gc0g 14383   Grpcgrp 15415   LSSumclsm 16138   LModclmod 16953   PreHilcphl 18058   ocvcocv 18090   CSubSpccss 18091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-grp 15550  df-ghm 15750  df-lsm 16140  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-rnghom 16811  df-staf 16935  df-srng 16936  df-lmod 16955  df-lmhm 17108  df-lvec 17189  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-phl 18060  df-ocv 18093  df-css 18094
This theorem is referenced by:  pjcss  18146
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