Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcss Structured version   Unicode version

Theorem lsmcss 19019
 Description: A subset of a pre-Hilbert space whose double orthocomplement has a projection decomposition is a closed subspace. This is the core of the proof that a topologically closed subspace is algebraically closed in a Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcss.c
lsmcss.j
lsmcss.o
lsmcss.p
lsmcss.1
lsmcss.2
lsmcss.3
Assertion
Ref Expression
lsmcss

Proof of Theorem lsmcss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcss.3 . . . . . . 7
21sseld 3440 . . . . . 6
3 lsmcss.1 . . . . . . . 8
4 phllmod 18961 . . . . . . . 8
53, 4syl 17 . . . . . . 7
6 lsmcss.2 . . . . . . 7
7 lsmcss.j . . . . . . . . 9
8 lsmcss.o . . . . . . . . 9
97, 8ocvss 18997 . . . . . . . 8
109a1i 11 . . . . . . 7
11 eqid 2402 . . . . . . . 8
12 lsmcss.p . . . . . . . 8
137, 11, 12lsmelvalx 16982 . . . . . . 7
145, 6, 10, 13syl3anc 1230 . . . . . 6
152, 14sylibd 214 . . . . 5
163ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15
176ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1917, 18sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16
219, 20sseldi 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
23 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
2522, 23, 7, 11, 24ipdir 18970 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
2616, 19, 21, 21, 25syl13anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
27 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar Scalar
287, 23, 22, 27, 8ocvi 18996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
2920, 18, 28syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3022, 23, 7, 27iporthcom 18966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
3116, 21, 19, 30syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
3332oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar Scalar
3416, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3522lmodfgrp 17839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
37 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
3822, 23, 7, 37ipcl 18964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3916, 21, 21, 38syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
4037, 24, 27grplid 16402 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar Scalar Scalar
4136, 39, 40syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
4226, 33, 413eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . 13
43 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14
447, 23, 22, 27, 8ocvi 18996 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
4543, 20, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
4642, 45eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
47 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14
4822, 23, 7, 27, 47ipeq0 18969 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
4916, 21, 48syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
5046, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
5150oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10
52 lmodgrp 17837 . . . . . . . . . . . . 13
535, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5453ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11
557, 11, 47grprid 16403 . . . . . . . . . . 11
5654, 19, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . 10
5751, 56eqtrd 2443 . . . . . . . . 9
5857, 18eqeltrd 2490 . . . . . . . 8
5958ex 432 . . . . . . 7
60 eleq1 2474 . . . . . . . 8
61 eleq1 2474 . . . . . . . 8
6260, 61imbi12d 318 . . . . . . 7
6359, 62syl5ibrcom 222 . . . . . 6
6463rexlimdvva 2902 . . . . 5
6515, 64syld 42 . . . 4
6665pm2.43d 47 . . 3
6766ssrdv 3447 . 2
68 lsmcss.c . . . 4
697, 68, 8iscss2 19013 . . 3
703, 6, 69syl2anc 659 . 2
7167, 70mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wrex 2754   wss 3413  cfv 5568  (class class class)co 6277  cbs 14839   cplusg 14907  Scalarcsca 14910  cip 14912  c0g 15052  cgrp 16375  clsm 16976  clmod 17830  cphl 18955  cocv 18987  ccss 18988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-ghm 16587  df-lsm 16978  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-rnghom 17682  df-staf 17812  df-srng 17813  df-lmod 17832  df-lmhm 17986  df-lvec 18067  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-phl 18957  df-ocv 18990  df-css 18991 This theorem is referenced by:  pjcss  19043
 Copyright terms: Public domain W3C validator