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Theorem lsmcss 18490
Description: A subset of a pre-Hilbert space whose double orthocomplement has a projection decomposition is a closed subspace. This is the core of the proof that a topologically closed subspace is algebraically closed in a Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
lsmcss.j  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
lsmcss.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcss.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
lsmcss.2  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
lsmcss.3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsmcss  |-  ( ph  ->  S  e.  C )

Proof of Theorem lsmcss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcss.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) )
21sseld 3503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) ) )
3 lsmcss.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
4 phllmod 18432 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lsmcss.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
7 lsmcss.j . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lsmcss.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
97, 8ocvss 18468 . . . . . . . 8  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  S ) 
C_  V )
11 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
12 lsmcss.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
137, 11, 12lsmelvalx 16456 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  C_  V  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
145, 6, 10, 13syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
152, 14sylibd 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
163ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  PreHil )
176ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  S  C_  V )
18 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
y  e.  S )
1917, 18sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
y  e.  V )
20 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  e.  (  ._|_  `  S ) )
219, 20sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  e.  V )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
24 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
2522, 23, 7, 11, 24ipdir 18441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V  /\  z  e.  V )
)  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) ( .i `  W ) z )  =  ( ( y ( .i
`  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
2616, 19, 21, 21, 25syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( ( y ( .i `  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
287, 23, 22, 27, 8ocvi 18467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  (  ._|_  `  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
2920, 18, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
3022, 23, 7, 27iporthcom 18437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( y ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3116, 21, 19, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  ( y
( .i `  W
) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
3332oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( .i `  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W )
) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
3416, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  LMod )
3522lmodfgrp 17304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3822, 23, 7, 37ipcl 18435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
z ( .i `  W ) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3916, 21, 21, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
4037, 24, 27grplid 15881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( z ( .i `  W
) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
4136, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
4226, 33, 413eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
43 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
447, 23, 22, 27, 8ocvi 18467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y ( +g  `  W ) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  z  e.  ( 
._|_  `  S ) )  ->  ( ( y ( +g  `  W
) z ) ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4543, 20, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
4642, 45eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
47 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4822, 23, 7, 27, 47ipeq0 18440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V )  ->  (
( z ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  z  =  ( 0g `  W ) ) )
4916, 21, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( z ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  z  =  ( 0g `  W ) ) )
5046, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  =  ( 0g
`  W ) )
5150oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g `  W
) ) )
52 lmodgrp 17302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
535, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  Grp )
557, 11, 47grprid 15882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  y  e.  V )  ->  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  y )
5654, 19, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  y )
5751, 56eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  =  y )
5857, 18eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  S )
5958ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
y ( +g  `  W
) z )  e.  S ) )
60 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <->  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
61 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
x  e.  S  <->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  S
) )
6260, 61imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S )  <->  ( (
y ( +g  `  W
) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  S ) ) )
6359, 62syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) ) )
6463rexlimdvva 2962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S ) x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) ) )
6515, 64syld 44 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  x  e.  S ) ) )
6665pm2.43d 48 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) )
6766ssrdv 3510 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
68 lsmcss.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
697, 68, 8iscss2 18484 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)
703, 6, 69syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  S
) )
7167, 70mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  S  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  Scalarcsca 14554   .icip 14556   0gc0g 14691   Grpcgrp 15723   LSSumclsm 16450   LModclmod 17295   PreHilcphl 18426   ocvcocv 18458   CSubSpccss 18459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-grp 15858  df-ghm 16060  df-lsm 16452  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-rnghom 17148  df-staf 17277  df-srng 17278  df-lmod 17297  df-lmhm 17451  df-lvec 17532  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-phl 18428  df-ocv 18461  df-css 18462
This theorem is referenced by:  pjcss  18514
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