MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmass Structured version   Unicode version

Theorem lsmass 16170
Description: Subgroup sum is associative. (Contributed by NM, 2-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmass  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( R  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( R  .(+)  ( T  .(+)  U )
) )

Proof of Theorem lsmass
Dummy variables  a 
c  x  y  z  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 lsmub1.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmval 16150 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( R  .(+) 
T )  =  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) ) )
543adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( R  .(+)  T )  =  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G
) b ) ) )
65rexeqdv 2927 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. y  e.  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) ) E. c  e.  U  x  =  ( y ( +g  `  G ) c ) ) )
7 ovex 6119 . . . . . . 7  |-  ( a ( +g  `  G
) b )  e. 
_V
87rgen2w 2787 . . . . . 6  |-  A. a  e.  R  A. b  e.  T  ( a
( +g  `  G ) b )  e.  _V
9 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) )
10 oveq1 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
y ( +g  `  G
) c )  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) )
1110eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  G
) c )  <->  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
1211rexbidv 2739 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  ( E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
139, 12rexrnmpt2 6209 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  R  A. b  e.  T  (
a ( +g  `  G
) b )  e. 
_V  ->  ( E. y  e.  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) ) E. c  e.  U  x  =  ( y ( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
148, 13ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ran  (
a  e.  R , 
b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G
) b ) ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) )
156, 14syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
161, 2, 3lsmval 16150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( T  .(+) 
U )  =  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) ) )
17163adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( T  .(+)  U )  =  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G
) c ) ) )
1817rexeqdv 2927 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. z  e.  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) ) x  =  ( a ( +g  `  G ) z ) ) )
19 ovex 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( b ( +g  `  G
) c )  e. 
_V
2019rgen2w 2787 . . . . . . . . 9  |-  A. b  e.  T  A. c  e.  U  ( b
( +g  `  G ) c )  e.  _V
21 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G
) c ) )  =  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) )
22 oveq2 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( b ( +g  `  G ) c )  ->  (
a ( +g  `  G
) z )  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) )
2322eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( b ( +g  `  G ) c )  ->  (
x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
2421, 23rexrnmpt2 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  T  A. c  e.  U  (
b ( +g  `  G
) c )  e. 
_V  ->  ( E. z  e.  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) ) x  =  ( a ( +g  `  G ) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
2520, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (
b  e.  T , 
c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G
) c ) ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) )
2618, 25syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  a  e.  R )  ->  ( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
28 subgrcl 15689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
29283ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  G  e.  Grp )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  G  e.  Grp )
311subgss 15685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  (SubGrp `  G
)  ->  R  C_  ( Base `  G ) )
32313ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  R  C_  ( Base `  G
) )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  R  C_  ( Base `  G ) )
34 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  a  e.  R )
3533, 34sseldd 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  a  e.  ( Base `  G )
)
361subgss 15685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
37363ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
39 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  b  e.  T )
4038, 39sseldd 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  b  e.  ( Base `  G )
)
411subgss 15685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
42413ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
44 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  c  e.  U )
4543, 44sseldd 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  c  e.  ( Base `  G )
)
461, 2grpass 15555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  (
Base `  G )  /\  b  e.  ( Base `  G )  /\  c  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( a ( +g  `  G
) b ) ( +g  `  G ) c )  =  ( a ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) c ) ) )
4730, 35, 40, 45, 46syl13anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  ( (
a ( +g  `  G
) b ) ( +g  `  G ) c )  =  ( a ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) c ) ) )
4847eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  ( x  =  ( ( a ( +g  `  G
) b ) ( +g  `  G ) c )  <->  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
49482rexbidva 2759 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  a  e.  R )  ->  ( E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G
) c )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
5027, 49bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  a  e.  R )  ->  ( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
5150rexbidva 2735 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
5215, 51bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z ) ) )
53 grpmnd 15553 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5429, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  G  e.  Mnd )
551, 3lsmssv 16145 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  R  C_  ( Base `  G
)  /\  T  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( R  .(+)  T )  C_  ( Base `  G ) )
5654, 32, 37, 55syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( R  .(+)  T ) 
C_  ( Base `  G
) )
571, 2, 3lsmelvalx 16142 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( R  .(+)  T ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( ( R  .(+)  T )  .(+)  U )  <->  E. y  e.  ( R 
.(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y ( +g  `  G ) c ) ) )
5829, 56, 42, 57syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( x  e.  ( ( R  .(+)  T ) 
.(+)  U )  <->  E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c ) ) )
591, 3lsmssv 16145 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G ) )
6054, 37, 42, 59syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( T  .(+)  U ) 
C_  ( Base `  G
) )
611, 2, 3lsmelvalx 16142 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  R  C_  ( Base `  G
)  /\  ( T  .(+) 
U )  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( R  .(+)  ( T 
.(+)  U ) )  <->  E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z ) ) )
6229, 32, 60, 61syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( x  e.  ( R  .(+)  ( T  .(+) 
U ) )  <->  E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z ) ) )
6352, 58, 623bitr4d 285 . 2  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( x  e.  ( ( R  .(+)  T ) 
.(+)  U )  <->  x  e.  ( R  .(+)  ( T 
.(+)  U ) ) ) )
6463eqrdv 2441 1  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( R  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( R  .(+)  ( T  .(+)  U )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    C_ wss 3331   ran crn 4844   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    e. cmpt2 6096   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   Mndcmnd 15412   Grpcgrp 15413  SubGrpcsubg 15678   LSSumclsm 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-subg 15681  df-lsm 16138
This theorem is referenced by:  lsm4  16345  pgpfac1lem3  16581  lsatcvat3  32700
  Copyright terms: Public domain W3C validator