MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmass Structured version   Unicode version

Theorem lsmass 16666
Description: Subgroup sum is associative. (Contributed by NM, 2-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmass  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( R  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( R  .(+)  ( T  .(+)  U )
) )

Proof of Theorem lsmass
Dummy variables  a 
c  x  y  z  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 lsmub1.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmval 16646 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( R  .(+) 
T )  =  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) ) )
543adant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( R  .(+)  T )  =  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G
) b ) ) )
65rexeqdv 3047 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. y  e.  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) ) E. c  e.  U  x  =  ( y ( +g  `  G ) c ) ) )
7 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( a ( +g  `  G
) b )  e. 
_V
87rgen2w 2805 . . . . . 6  |-  A. a  e.  R  A. b  e.  T  ( a
( +g  `  G ) b )  e.  _V
9 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) )
10 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
y ( +g  `  G
) c )  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) )
1110eqeq2d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  G
) c )  <->  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
1211rexbidv 2954 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  ( E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
139, 12rexrnmpt2 6403 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  R  A. b  e.  T  (
a ( +g  `  G
) b )  e. 
_V  ->  ( E. y  e.  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) ) E. c  e.  U  x  =  ( y ( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
148, 13ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ran  (
a  e.  R , 
b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G
) b ) ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) )
156, 14syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
161, 2, 3lsmval 16646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( T  .(+) 
U )  =  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) ) )
17163adant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( T  .(+)  U )  =  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G
) c ) ) )
1817rexeqdv 3047 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. z  e.  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) ) x  =  ( a ( +g  `  G ) z ) ) )
19 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( b ( +g  `  G
) c )  e. 
_V
2019rgen2w 2805 . . . . . . . . 9  |-  A. b  e.  T  A. c  e.  U  ( b
( +g  `  G ) c )  e.  _V
21 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G
) c ) )  =  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) )
22 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( b ( +g  `  G ) c )  ->  (
a ( +g  `  G
) z )  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) )
2322eqeq2d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( b ( +g  `  G ) c )  ->  (
x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
2421, 23rexrnmpt2 6403 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  T  A. c  e.  U  (
b ( +g  `  G
) c )  e. 
_V  ->  ( E. z  e.  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) ) x  =  ( a ( +g  `  G ) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
2520, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (
b  e.  T , 
c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G
) c ) ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) )
2618, 25syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  a  e.  R )  ->  ( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
28 subgrcl 16184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
29283ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  G  e.  Grp )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  G  e.  Grp )
311subgss 16180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  (SubGrp `  G
)  ->  R  C_  ( Base `  G ) )
32313ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  R  C_  ( Base `  G
) )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  R  C_  ( Base `  G ) )
34 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  a  e.  R )
3533, 34sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  a  e.  ( Base `  G )
)
361subgss 16180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
37363ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
39 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  b  e.  T )
4038, 39sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  b  e.  ( Base `  G )
)
411subgss 16180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
42413ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
44 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  c  e.  U )
4543, 44sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  c  e.  ( Base `  G )
)
461, 2grpass 16042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  (
Base `  G )  /\  b  e.  ( Base `  G )  /\  c  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( a ( +g  `  G
) b ) ( +g  `  G ) c )  =  ( a ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) c ) ) )
4730, 35, 40, 45, 46syl13anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  ( (
a ( +g  `  G
) b ) ( +g  `  G ) c )  =  ( a ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) c ) ) )
4847eqeq2d 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  ( x  =  ( ( a ( +g  `  G
) b ) ( +g  `  G ) c )  <->  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
49482rexbidva 2960 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  a  e.  R )  ->  ( E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G
) c )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
5027, 49bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  a  e.  R )  ->  ( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
5150rexbidva 2951 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
5215, 51bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z ) ) )
53 grpmnd 16040 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5429, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  G  e.  Mnd )
551, 3lsmssv 16641 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  R  C_  ( Base `  G
)  /\  T  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( R  .(+)  T )  C_  ( Base `  G ) )
5654, 32, 37, 55syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( R  .(+)  T ) 
C_  ( Base `  G
) )
571, 2, 3lsmelvalx 16638 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( R  .(+)  T ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( ( R  .(+)  T )  .(+)  U )  <->  E. y  e.  ( R 
.(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y ( +g  `  G ) c ) ) )
5829, 56, 42, 57syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( x  e.  ( ( R  .(+)  T ) 
.(+)  U )  <->  E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c ) ) )
591, 3lsmssv 16641 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G ) )
6054, 37, 42, 59syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( T  .(+)  U ) 
C_  ( Base `  G
) )
611, 2, 3lsmelvalx 16638 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  R  C_  ( Base `  G
)  /\  ( T  .(+) 
U )  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( R  .(+)  ( T 
.(+)  U ) )  <->  E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z ) ) )
6229, 32, 60, 61syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( x  e.  ( R  .(+)  ( T  .(+) 
U ) )  <->  E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z ) ) )
6352, 58, 623bitr4d 285 . 2  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( x  e.  ( ( R  .(+)  T ) 
.(+)  U )  <->  x  e.  ( R  .(+)  ( T 
.(+)  U ) ) ) )
6463eqrdv 2440 1  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( R  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( R  .(+)  ( T  .(+)  U )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   ran crn 4990   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   Basecbs 14613   +g cplusg 14678   Mndcmnd 15897   Grpcgrp 16031  SubGrpcsubg 16173   LSSumclsm 16632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-subg 16176  df-lsm 16634
This theorem is referenced by:  lsm4  16844  pgpfac1lem3  17106  lsatcvat3  34517
  Copyright terms: Public domain W3C validator