Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsm4 Structured version   Unicode version

Theorem lsm4 16735
 Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmcom.s
Assertion
Ref Expression
lsm4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp

Proof of Theorem lsm4
StepHypRef Expression
1 simp1 995 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2 simp2r 1022 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3 simp3l 1023 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
4 lsmcom.s . . . . . . 7
54lsmcom 16733 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
61, 2, 3, 5syl3anc 1227 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
76oveq2d 6293 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
8 simp2l 1021 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
94lsmass 16557 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
108, 2, 3, 9syl3anc 1227 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
114lsmass 16557 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
128, 3, 2, 11syl3anc 1227 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
137, 10, 123eqtr4d 2492 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
1413oveq1d 6292 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
154lsmsubg2 16734 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
161, 8, 2, 15syl3anc 1227 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
17 simp3r 1024 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
184lsmass 16557 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
1916, 3, 17, 18syl3anc 1227 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
204lsmsubg2 16734 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
211, 8, 3, 20syl3anc 1227 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
224lsmass 16557 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
2321, 2, 17, 22syl3anc 1227 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2414, 19, 233eqtr3d 2490 1 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802  cfv 5574  (class class class)co 6277  SubGrpcsubg 16064  clsm 16523  cabl 16668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-subg 16067  df-cntz 16224  df-lsm 16525  df-cmn 16669  df-abl 16670 This theorem is referenced by:  dihjatcclem1  36847
 Copyright terms: Public domain W3C validator