MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsm4 Structured version   Unicode version

Theorem lsm4 16735
Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmcom.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsm4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  ( T 
.(+)  U ) )  =  ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  ( R  .(+) 
U ) ) )

Proof of Theorem lsm4
StepHypRef Expression
1 simp1 995 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  G  e.  Abel )
2 simp2r 1022 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  R  e.  (SubGrp `  G ) )
3 simp3l 1023 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
4 lsmcom.s . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
54lsmcom 16733 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( R  .(+)  T )  =  ( T  .(+)  R ) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( R  .(+)  T )  =  ( T 
.(+)  R ) )
76oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( Q  .(+)  ( R  .(+)  T )
)  =  ( Q 
.(+)  ( T  .(+)  R ) ) )
8 simp2l 1021 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  Q  e.  (SubGrp `  G ) )
94lsmass 16557 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  =  ( Q  .(+)  ( R  .(+)  T )
) )
108, 2, 3, 9syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  T )  =  ( Q  .(+)  ( R  .(+)  T )
) )
114lsmass 16557 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  =  ( Q  .(+)  ( T  .(+)  R )
) )
128, 3, 2, 11syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  T )  .(+)  R )  =  ( Q  .(+)  ( T  .(+)  R )
) )
137, 10, 123eqtr4d 2492 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  T )  =  ( ( Q 
.(+)  T )  .(+)  R ) )
1413oveq1d 6292 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  .(+)  U ) )
154lsmsubg2 16734 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  e.  (SubGrp `  G
) )
161, 8, 2, 15syl3anc 1227 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  (SubGrp `  G ) )
17 simp3r 1024 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
184lsmass 16557 . . 3  |-  ( ( ( Q  .(+)  R )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( ( Q  .(+)  R ) 
.(+)  ( T  .(+)  U ) ) )
1916, 3, 17, 18syl3anc 1227 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  ( T 
.(+)  U ) ) )
204lsmsubg2 16734 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( Q  .(+)  T )  e.  (SubGrp `  G
) )
211, 8, 3, 20syl3anc 1227 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( Q  .(+)  T )  e.  (SubGrp `  G ) )
224lsmass 16557 . . 3  |-  ( ( ( Q  .(+)  T )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  .(+)  U )  =  ( ( Q  .(+)  T ) 
.(+)  ( R  .(+)  U ) ) )
2321, 2, 17, 22syl3anc 1227 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  .(+)  U )  =  ( ( Q 
.(+)  T )  .(+)  ( R 
.(+)  U ) ) )
2414, 19, 233eqtr3d 2490 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  ( T 
.(+)  U ) )  =  ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  ( R  .(+) 
U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277  SubGrpcsubg 16064   LSSumclsm 16523   Abelcabl 16668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-subg 16067  df-cntz 16224  df-lsm 16525  df-cmn 16669  df-abl 16670
This theorem is referenced by:  dihjatcclem1  36847
  Copyright terms: Public domain W3C validator