MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsm4 Structured version   Unicode version

Theorem lsm4 16341
Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmcom.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsm4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  ( T 
.(+)  U ) )  =  ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  ( R  .(+) 
U ) ) )

Proof of Theorem lsm4
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  G  e.  Abel )
2 simp2r 1015 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  R  e.  (SubGrp `  G ) )
3 simp3l 1016 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
4 lsmcom.s . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
54lsmcom 16339 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( R  .(+)  T )  =  ( T  .(+)  R ) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( R  .(+)  T )  =  ( T 
.(+)  R ) )
76oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( Q  .(+)  ( R  .(+)  T )
)  =  ( Q 
.(+)  ( T  .(+)  R ) ) )
8 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  Q  e.  (SubGrp `  G ) )
94lsmass 16166 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  =  ( Q  .(+)  ( R  .(+)  T )
) )
108, 2, 3, 9syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  T )  =  ( Q  .(+)  ( R  .(+)  T )
) )
114lsmass 16166 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  =  ( Q  .(+)  ( T  .(+)  R )
) )
128, 3, 2, 11syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  T )  .(+)  R )  =  ( Q  .(+)  ( T  .(+)  R )
) )
137, 10, 123eqtr4d 2484 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  T )  =  ( ( Q 
.(+)  T )  .(+)  R ) )
1413oveq1d 6105 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  .(+)  U ) )
154lsmsubg2 16340 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  e.  (SubGrp `  G
) )
161, 8, 2, 15syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  (SubGrp `  G ) )
17 simp3r 1017 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
184lsmass 16166 . . 3  |-  ( ( ( Q  .(+)  R )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( ( Q  .(+)  R ) 
.(+)  ( T  .(+)  U ) ) )
1916, 3, 17, 18syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  ( T 
.(+)  U ) ) )
204lsmsubg2 16340 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( Q  .(+)  T )  e.  (SubGrp `  G
) )
211, 8, 3, 20syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( Q  .(+)  T )  e.  (SubGrp `  G ) )
224lsmass 16166 . . 3  |-  ( ( ( Q  .(+)  T )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  .(+)  U )  =  ( ( Q  .(+)  T ) 
.(+)  ( R  .(+)  U ) ) )
2321, 2, 17, 22syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  .(+)  U )  =  ( ( Q 
.(+)  T )  .(+)  ( R 
.(+)  U ) ) )
2414, 19, 233eqtr3d 2482 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  ( T 
.(+)  U ) )  =  ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  ( R  .(+) 
U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5417  (class class class)co 6090  SubGrpcsubg 15674   LSSumclsm 16132   Abelcabel 16277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-subg 15677  df-cntz 15834  df-lsm 16134  df-cmn 16278  df-abl 16279
This theorem is referenced by:  dihjatcclem1  35061
  Copyright terms: Public domain W3C validator